a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, với AB = 5 và BC = 13.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
AC² = AB² + BC²
AC² = 5² + 13²
AC² = 25 + 169
AC² = 194
AC = √194

Vậy độ dài AC là √194.

Đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông AHB và AHC.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHB, ta có:
AH² = AB² - BH²
AH² = 5² - (AC - CH)²
AH² = 25 - (AC - CH)²

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHC, ta có:
AH² = AC² - CH²
AH² = 194 - CH²

Vì AH² = AH², nên ta có:
25 - (AC - CH)² = 194 - CH²
25 - AC² + 2ACCH - CH² = 194 - CH²
2ACCH = 194 - 25 - AC²
2ACCH = 169 - AC²
CH = (169 - AC²) / (2AC)

Vậy độ dài AH là (169 - AC²) / (2AC).

b) Kẻ AD là tia phân giác của góc BAC. Ta cần tính số đo góc HAD.

Gọi x là số đo góc HAD.

Ta có:
AH/AD = CH/CD
(169 - AC²) / (2AC) / AD = CH / CD

Vì CH = (169 - AC²) / (2AC), ta có:
(169 - AC²) / (2AC) / AD = (169 - AC²) / (2AC) / CD
1 / AD = 1 / CD
AD = CD

Vậy số đo góc HAD là 180°/2 = 90°.