Cho góc xOy khác góc bẹt

Để chứng minh các phần a), b), c), ta sẽ sử dụng các tính chất của góc và tam giác.

a) Ta có OA < OB và OA = OC, OB = OD. Vậy ta có thể kết luận rằng các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD có cùng độ dài. Vì vậy, ta có AD = AO + OD = AO + OB = AB và BC = BO + OC = BO + OA = AB. Vậy ta có AD = BC.

b) Ta có AD = BC (đã chứng minh ở phần a)). Ta cũng có OA = OC và OB = OD. Vậy ta có thể kết luận rằng tam giác AOD và tam giác BOC là tam giác đồng dạng. Vì vậy, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác này: AO/BO = OD/OC. Từ đó suy ra tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của tam giác AOB và tam giác COD: AB/BC = OD/OC. Vậy ta có thể kết luận rằng tam giác AOB và tam giác COD là tam giác đồng dạng. Vì vậy, ta có tam giác EAB bằng tam giác ECD.

c) Ta cần chứng minh rằng OE là phân giác của góc xOy. Ta có OA = OC và OB = OD. Vậy ta có thể kết luận rằng tam giác AOD và tam giác BOC là tam giác đồng dạng. Vì vậy, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác này: AO/BO = OD/OC. Từ đó suy ra tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của tam giác AOB và tam giác COD: AB/BC = OD/OC. Vậy ta có thể kết luận rằng tam giác AOB và tam giác COD là tam giác đồng dạng. Vì vậy, ta có góc AOE bằng góc COE. Vì góc AOE và góc COE là hai góc đối nhau nên chúng có cùng độ lớn. Vậy ta có thể kết luận rằng OE là phân giác của góc xOy.