Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=x^2+5y^2-4xy-4yz-4z+12

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x^2 + 5y^2 - 4xy - 4yz - 4z + 12, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số này.

Để làm điều này, ta cần tìm các điểm mà đạo hàm riêng của hàm số theo x, y và z bằng 0.

Đạo hàm riêng theo x:
B'x = 2x - 4y = 0

Đạo hàm riêng theo y:
B'y = 10y - 4x - 4z = 0

Đạo hàm riêng theo z:
B'z = -4y - 4 = 0

Giải hệ phương trình này, ta có:
2x - 4y = 0 => x = 2y
10y - 4x - 4z = 0 => 10y - 4(2y) - 4z = 0 => 10y - 8y - 4z = 0 => 2y - 4z = 0 => y = 2z
-4y - 4 = 0 => -4y = 4 => y = -1

Thay y = -1 vào x = 2y, ta có x = 2(-1) = -2
Thay y = -1 vào y = 2z, ta có -1 = 2z => z = -1/2

Vậy, điểm cực tiểu của hàm số là (x, y, z) = (-2, -1, -1/2).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B, ta thay giá trị của (x, y, z) vào biểu thức B:
B = (-2)^2 + 5(-1)^2 - 4(-2)(-1) - 4(-1)(-1/2) - 4(-1) + 12
= 4 + 5 - 8 + 2 - 4 + 12
= 11

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 11.