Để chứng minh tỉ số \( \frac{r}{R} = \frac{1}{2} \) cho tam giác đều \( ABC \), ta sử dụng các công thức liên quan đến bán kính của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.

1. **Bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp**:
Đối với tam giác đều có cạnh \( a \), bán kính của đường tròn ngoại tiếp được tính bằng công thức:
\[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
\]

2. **Bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp**:
Bán kính của đường tròn nội tiếp được tính theo công thức:
\[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6}
\]

3. **Tính tỉ số \( \frac{r}{R} \)**:
Thay các công thức vào để tìm \( \frac{r}{R} \):
\[
\frac{r}{R} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{6}}{\frac{a}{\sqrt{3}}} = \frac{a \sqrt{3}}{6} \times \frac{\sqrt{3}}{a} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]

Vậy, ta đã chứng minh rằng tỉ số \( \frac{r}{R} = \frac{1}{2} \).

Tiếp theo, cho các câu còn lại:

b) **Diện tích tam giác \( OAB \)**:
- Diện tích tam giác có công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{độ dài cạnh} \cdot \text{chiều cao}
\]
Sử dụng cạnh \( AB \) và bán kính \( R \), ta có:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot R \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{4}R^2
\]

c) **Diện tích hình quạt \( OAB \)**:
- Diện tích quạt được tính bằng:
\[
S = \frac{1}{3}\pi R^2
\]

d) **Diện tích hình viên phần giới hạn bởi dây \( AB \) và cung nhỏ \( AB \)**:
- Diện tích này bằng diện tích quạt trừ đi diện tích tam giác:
\[
\text{Diện tích} = \frac{\sqrt{3}}{4} R^2 - \frac{1}{3}\pi R^2
\]

Tóm lại, bạn đã hoàn thành xong các yêu cầu trong bài toán. Nếu cần thêm thông tin cụ thể về từng phần, hãy cho mình biết!