Từ điểm A ở ngoài (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B,C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC

a) Ta có:
- AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc BAC là góc nhọn.
- Góc BAC là góc nội tiếp của đường tròn (O), nên góc BOC là góc ngoại tiếp của đường tròn (O).
- Góc BOC là góc ngoại tiếp của đường tròn (O), nên góc BOC = 180° - góc BAC.
- Góc BOC = 180° - góc BAC = góc BAC (vì góc BAC là góc nhọn).
- Vậy ta có góc BOC = góc BAC.
- Do đó, ta có A, B, O, C cùng thuộc đường tròn (O).

b) Ta có:
- Gọi E' là giao điểm của AE và BC.
- Ta có: OH // AE' (do OH và AE' đều vuông góc với BC).
- Vì OH // AE', nên tỉ số đồng dạng giữa các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác OHE' và AEE' là bằng nhau.
- Ta có: OH/OA = HE'/AE' và HE'/AE' = HD/AD (do tam giác OHE' và AEE' đồng dạng).
- Vậy ta có OH/OA = HD/AD.
- Ta có: HD = 2OH (do tam giác OHD và OHA đồng dạng).
- Vậy ta có OH/OA = HD/AD = 2OH/AD.
- Nhân cả hai vế của phương trình trên với AD, ta có: OH.AD/OA = 2OH.
- Từ đó suy ra: ED.EA = 4OH.OA.

c) Ta có:
- Gọi K' là giao điểm của AE và CI.
- Ta có: HK' // BE (do HK' và BE đều vuông góc với CI).
- Vì HK' // BE, nên tỉ số đồng dạng giữa các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác HK'I và BEI là bằng nhau.
- Ta có: HK'/BE = K'I/EI và K'I/EI = AK/AE (do tam giác HK'I và BEI đồng dạng).
- Vậy ta có HK'/BE = K'I/EI = AK/AE.
- Ta có: AK = 2AE (do tam giác AHE và AOE đồng dạng).
- Vậy ta có HK'/BE = K'I/EI = 2AE/AE = 2.
- Từ đó suy ra: HK' = 2BE.
- Vậy ta có HK // BE.