Mặt phẳng (α) đi qua E song song (ABC) cắt BM tại F

Để tính được EF, ta cần tìm được tọa độ của các điểm A, B, C, D, G, H, M, E và F.

Gọi O là tâm của tứ diện ABCD, ta có:
- Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên tọa độ của O là (0, 0, 0).
- Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên tọa độ của A là (a, 0, 0).
- Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên tọa độ của B là (0, a, 0).
- Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên tọa độ của C là (-a, 0, 0).
- Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên tọa độ của D là (0, -a, 0).

Gọi I là trung điểm của AB, ta có:
- Tọa độ của I là (a/2, a/2, 0).

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, ta có:
- Tọa độ của G là (a/3, a/3, 0).

Gọi H là điểm thuộc cạnh AD sao cho DH = 2HA, ta có:
- Tọa độ của H là (a, -a/3, 0).

Gọi M là điểm thuộc cạnh CD sao cho DM = 2MC, ta có:
- Tọa độ của M là (0, -a/3, 0).

Gọi E là giao điểm của DG và BH, ta cần tìm tọa độ của E.

Đường thẳng DG có phương trình:
x = (a/3) + t(0 - a/3) = (a/3)(1 - t)
y = (a/3) + t(a - a/3) = (a/3)(1 + 2t)
z = 0 + t(0 - 0) = 0

Đường thẳng BH có phương trình:
x = 0 + s(a - 0) = as
y = a + s(a/3 - a) = a(1 - 2s)
z = 0 + s(0 - 0) = 0

Để tìm tọa độ của E, ta giải hệ phương trình:
(a/3)(1 - t) = as
(a/3)(1 + 2t) = a(1 - 2s)
0 = 0

Từ hệ phương trình trên, ta có:
t = 1 - 3s

Thay t = 1 - 3s vào phương trình đường thẳng BH, ta có:
x = as = a(1 - 3s)
y = a(1 - 2s)

Từ đó, ta có tọa độ của E là (a(1 - 3s), a(1 - 2s), 0).

Mặt phẳng (α) đi qua E song song với mặt phẳng (ABC) có phương trình:
a(x - a) + a(y - a) + a(z - 0) = 0
a(a(1 - 3s) - a) + a(a(1 - 2s) - a) = 0
a(1 - 3s - 1 + 2s) + a(1 - 2s - 1 + 2s) = 0
a(-s) + a(0) = 0
-s = 0
s = 0

Thay s = 0 vào tọa độ của E, ta có:
(a(1 - 3s), a(1 - 2s), 0) = (a(1 - 3(0)), a(1 - 2(0)), 0) = (a, a, 0)

Gọi F là giao điểm của đường thẳng BM và mặt phẳng (α), ta cần tìm tọa độ của F.

Đường thẳng BM có phương trình:
x = 0 + u(a/2 - 0) = ua/2
y = a + u(a/2 - a) = a(1 - u/2)
z = 0 + u(0 - 0) = 0

Mặt phẳng (α) có phương trình:
x - a + y - a = 0
ua/2 - a + a(1 - u/2) - a = 0
ua/2 - a + a - au/2 - a = 0
ua/2 - au/2 - 2a + a = 0
ua/2 - au/2 - a = 0
a(u/2 - u/2 - 1) = 0
a(-1) = 0
a = 0

Vì a không thể bằng 0, nên phương trình trên không có nghiệm.

Vậy không tồn tại mặt phẳng (α) đi qua E song song với mặt phẳng (ABC).

Do đó, EF không xác định.