A^2 + ab + b^2/3 = 15

Để chứng minh rằng 2c/a = (b + c)/(a + c), ta sẽ sử dụng các phương pháp biến đổi đại số.

Bước 1: Nhân cả hai vế của phương trình a^2 + ab + b^2/3 = 15 với 3 để loại bỏ phân số, ta được 3a^2 + 3ab + b^2 = 45.

Bước 2: Nhân cả hai vế của phương trình c^2 + b^2/3 = 6 với 3 để loại bỏ phân số, ta được 3c^2 + b^2 = 18.

Bước 3: Trừ phương trình 3a^2 + 3ab + b^2 = 45 cho phương trình 3c^2 + b^2 = 18, ta được 3a^2 + 3ab - 3c^2 = 27.

Bước 4: Chia cả hai vế của phương trình a^2 + ac + c^2 = 9 cho c, ta được a^2/c + a + c = 9/c.

Bước 5: Nhân cả hai vế của phương trình a^2/c + a + c = 9/c với 3, ta được 3a^2/c + 3a + 3c = 27/c.

Bước 6: Trừ phương trình 3a^2 + 3ab - 3c^2 = 27 cho phương trình 3a^2/c + 3a + 3c = 27/c, ta được 3ab - 3c^2 - 3a - 3c = 0.

Bước 7: Nhân cả hai vế của phương trình 3ab - 3c^2 - 3a - 3c = 0 với 2, ta được 6ab - 6c^2 - 6a - 6c = 0.

Bước 8: Chia cả hai vế của phương trình 6ab - 6c^2 - 6a - 6c = 0 cho 6, ta được ab - c^2 - a - c = 0.

Bước 9: Đổi vị trí các thành phần của phương trình ab - c^2 - a - c = 0, ta được -c^2 - c + ab - a = 0.

Bước 10: Nhân cả hai vế của phương trình -c^2 - c + ab - a = 0 với -1, ta được c^2 + c - ab + a = 0.

Bước 11: Thay thế c^2 + c - ab + a bằng (a^2 + ac + c^2) - (a^2 + ab) + (c^2 + c) trong phương trình trên, ta được (a^2 + ac + c^2) - (a^2 + ab) + (c^2 + c) = 0.

Bước 12: Đơn giản hóa phương trình (a^2 + ac + c^2) - (a^2 + ab) + (c^2 + c) = 0, ta được ac - ab + c = 0.

Bước 13: Chia cả hai vế của phương trình ac - ab + c = 0 cho a + c, ta được (ac - ab + c)/(a + c) = 0.

Bước 14: Đơn giản hóa phương trình (ac - ab + c)/(a + c) = 0, ta được (c(a - b + 1))/(a + c) = 0.

Bước 15: Vì a và c khác 0, nên ta có thể chia cả hai vế của phương trình (c(a - b + 1))/(a + c) = 0 cho c(a + c), ta được (a - b + 1)/(a + c) = 0.

Bước 16: Đơn giản hóa phương trình (a - b + 1)/(a + c) = 0, ta được a - b + 1 = 0.

Bước 17: Đổi vị trí các thành phần của phương trình a - b + 1 = 0, ta được 1 - b + a = 0.

Bước 18: Thay thế 1 - b + a bằng (a^2 + ab + b^2/3) - (a^2 + ac + c^2) + (c^2 + b^2/3) trong phương trình trên, ta được (a^2 + ab + b^2/3) - (a^2 + ac + c^2) + (c^2 + b^2/3) = 0.

Bước 19: Đơn giản hóa phương trình (a^2 + ab + b^2/3) - (a^2 + ac + c^2) + (c^2 + b^2/3) = 0, ta được ab - ac + b^2/3 + c^2/3 = 0.

Bước 20: Nhân cả hai vế của phương trình ab - ac + b^2/3 + c^2/3 = 0 với 3, ta được 3ab - 3ac + b^2 + c^2 = 0.

Bước 21: Thay thế 3ab - 3ac + b^2 + c^2 bằng 6ab - 6c^2 - 6a - 6c trong phương trình trên, ta được 6ab - 6c^2 - 6a - 6c = 0.

Bước 22: Chia cả hai vế của phương trình 6ab - 6c^2 - 6a - 6c = 0 cho 6, ta được ab - c^2 - a - c = 0.

Bước 23: Đã chứng minh được rằng ab - c^2 - a - c = 0, tức là 2c/a = (b + c)/(a + c).