Cho hình tam giác ABC. Lấy M trên AB và N trên AC sao cho AM = BM và 2 x NC = NA

a) Ta có AM = BM và 2 x NC = NA. Khi đó, ta có thể xác định vị trí của M và N như sau:
- Gọi x là độ dài AM = BM.
- Gọi y là độ dài NC = 0.5 x NA.
- Ta có AM + BM + MN = AB, suy ra MN = AB - 2x.
- Ta cũng có NA + NC + MN = AC, suy ra MN = AC - 2y.
- Từ hai phương trình trên, ta có AB - 2x = AC - 2y.
- Vì AM = BM, nên ta có x = AB/3.
- Từ đó, ta có y = AC/6.

Diện tích tam giác ANM là:
S(ANM) = 0.5 x AM x MN = 0.5 x (AB/3) x (AB - 2x) = 0.5 x (AB/3) x (AB - 2(AB/3)) = 0.5 x (AB/3) x (AB/3) = (AB^2)/18.

Diện tích tam giác BMNC là:
S(BMNC) = 0.5 x BM x NC = 0.5 x (AB/3) x (0.5 x NA) = 0.25 x (AB/3) x (2 x NC) = 0.25 x (AB/3) x (2 x (0.5 x AB/3)) = (AB^2)/18.

Vậy tỉ số diện tích ANM và BMNC là 1:1.

b) Ta có MN = AB - 2x = AB - 2(AB/3) = AB/3.
- Gọi E là giao điểm của MN và BC.
- Ta có BE = BM - ME = BM - (AB - AE) = BM - (AB - (AC - CE)) = BM - (AB - (AC - 2y)) = BM - (AB - (AC - 2(AC/6))) = BM - (AB - (AC - AC/3)) = BM - (AB - 2AC/3) = BM - AB + 2AC/3 = -AB/3 + 2AC/3 = AC/3.
- Ta cũng có CE = CN - NE = CN - (AC - AE) = CN - (AC - (AB - BE)) = CN - (AC - (AB - AC/3)) = CN - (AB - 2AC/3) = CN - AB + 2AC/3 = -AB/3 + 2AC/3 = AC/3.
- Vậy BE = CE = AC/3.

Vì BE = CE, nên tam giác BCE là tam giác đều.
- Ta có BC = 2 x BE = 2 x AC/3.
- Ta cũng có CD = BC - BD = 2 x AC/3 - AC/3 = AC/3.

Vậy BC = 2 x CD.

Kết luận: BC gấp đôi CD.