Cho tam giác ABC, lấy M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD

Để giải quyết bài toán, chúng ta cần vẽ hình như sau:

1. Vẽ tam giác ABC, lấy M là trung điểm của cạnh BC.

2. Vẽ tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MA = MD.

3. Vẽ tia đối của tia AC, lấy điểm E sao cho AE = AC.

4. Kẻ đường thẳng DE cắt AB tại điểm I.

5. Chứng minh các phần a, b, c.

a) Chứng minh tg AMC = tg DMB:
Vì MA = MD và AM = AM (cạnh chung), nên tam giác AMC và tam giác DMB là hai tam giác cân có cạnh chung AM. Do đó, góc AMC = góc DMB. Và vì hai tam giác cân có cạnh chung AM, nên tg AMC = tg DMB.

b) Chứng minh AC // BD:
Vì MA = MD và AM = AM (cạnh chung), nên tam giác AMC và tam giác DMB là hai tam giác cân có cạnh chung AM. Do đó, góc AMC = góc DMB. Và vì hai tam giác cân có cạnh chung AM, nên tg AMC = tg DMB. Từ đó suy ra, góc AMB = góc AMD.

Vì AM = AM (cạnh chung) và góc AMB = góc AMD, nên tam giác AMB và tam giác AMD là hai tam giác đồng dạng (cạnh - góc - cạnh). Từ đó, ta có AM/AM = AB/AD. Vì AM = AM, nên AB = AD. Do đó, AB // AD. Từ đó suy ra, AC // BD.

c) Chứng minh IA = IB:
Vì AE = AC và AE // BC (do AC // BD), nên tam giác AEC và tam giác ABC là hai tam giác đồng dạng (cạnh - góc - cạnh). Từ đó, ta có AE/AC = AB/AB. Vì AE = AC, nên AB = AB. Do đó, tam giác AEB là tam giác đều. Từ đó suy ra, AE = AB.

Vì AE = AC và AE = AB, nên AC = AB. Vì M là trung điểm của BC, nên AM cắt BC ở trung điểm N của BC. Từ đó, ta có AN = NC và AM = MN.

Vì tam giác AEB là tam giác đều, nên góc AEB = 60 độ. Vì tam giác AEB và tam giác AIN có cạnh chung AI, nên góc AIN = góc AEB = 60 độ. Từ đó suy ra, tam giác AIN là tam giác đều.

Vì tam giác AIN là tam giác đều, nên AI = IN. Vì AM = MN, nên tam giác AIM và tam giác MNI là hai tam giác cân có cạnh chung AM. Do đó, góc AIM = góc MNI.

Vì tam giác AIM và tam giác MNI là hai tam giác cân có cạnh chung AM, nên tg AIM = tg MNI. Từ đó suy ra, AI = MI.

Vì AI = MI và AI = IN, nên tam giác AIN và tam giác MIN là hai tam giác đồng dạng (cạnh - góc - cạnh). Từ đó, ta có AI/MI = AN/IN. Vì AI = MI, nên AN = IN. Do đó, tam giác AIN là tam giác đều. Từ đó suy ra, IA = IB.