Để chứng minh rằng a^3 + 6a^2 + 88a chia hết cho 48 với mọi số nguyên n, ta cần chứng minh rằng a^3 + 6a^2 + 88a chia hết cho 16 và chia hết cho 3.

1. Chứng minh rằng a^3 + 6a^2 + 88a chia hết cho 16:
Ta biểu diễn a dưới dạng a = 2k (với k là số nguyên).
Thay a = 2k vào a^3 + 6a^2 + 88a ta có:
(2k)^3 + 6(2k)^2 + 88(2k) = 8k^3 + 24k^2 + 176k = 8(k^3 + 3k^2 + 22k)
Vì k^3 + 3k^2 + 22k là một số nguyên, nên 8(k^3 + 3k^2 + 22k) chia hết cho 8.
Do đó, a^3 + 6a^2 + 88a chia hết cho 16.

2. Chứng minh rằng a^3 + 6a^2 + 88a chia hết cho 3:
Ta biểu diễn a dưới dạng a = 3m (với m là số nguyên).
Thay a = 3m vào a^3 + 6a^2 + 88a ta có:
(3m)^3 + 6(3m)^2 + 88(3m) = 27m^3 + 54m^2 + 264m = 3(9m^3 + 18m^2 + 88m)
Vì 9m^3 + 18m^2 + 88m là một số nguyên, nên 3(9m^3 + 18m^2 + 88m) chia hết cho 3.
Do đó, a^3 + 6a^2 + 88a chia hết cho 3.

Từ hai chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng a^3 + 6a^2 + 88a chia hết cho cả 16 và 3.
Vì 16 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên a^3 + 6a^2 + 88a chia hết cho 48 với mọi số nguyên n.