Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến AB đến (O) với B là tiếp điểm. Vẽ dây cung BC của (O) vuông góc với OA tại H

a) Ta có:
- Góc BOH là góc giữa tiếp tuyến AB và dây cung BC, nên góc BOH bằng góc ABC (1).
- Góc COH là góc giữa tiếp tuyến AC và dây cung BC, nên góc COH bằng góc ACB (2).
- AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc ACB là góc nghiêng giữa dây cung BC và tiếp tuyến AC, nên góc ACB bằng góc ABC (3).
Từ (1), (2) và (3), ta có góc BOH bằng góc COH.

b) Ta có:
- M là trung điểm của OB và OC, nên AM là đường trung bình của tam giác OBC, nên AM đi qua trung điểm của BC, ký hiệu là K.
- Ta có AK = MK (vì M là trung điểm của OB và OC), nên tam giác AKM là tam giác cân tại K.
- Ta có góc KAM = góc KMA (vì tam giác AKM là tam giác cân), nên góc KAM = góc KMA = góc KOC (vì tam giác KOC cân tại K).
- Ta có góc KOC = góc KBC (vì BC là dây cung của đường tròn (O)), nên góc KAM = góc KBC.
- Ta có góc KBC = góc KAC (vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)), nên góc KAM = góc KAC.
- Ta có góc KAM = góc KAC = góc KAE (vì AE là đường kính của đường tròn (I)), nên tam giác AKM đồng dạng với tam giác AKE.
- Vì M là trung điểm của OB và OC, nên AM là đường trung bình của tam giác OBC, nên AM đi qua trung điểm của BC, ký hiệu là N.
- Ta có AN = 2NM (vì N là trung điểm của OB và OC), nên tam giác ANM đồng dạng với tam giác AKE.
- Vì tam giác ANM đồng dạng với tam giác AKE, nên ta có góc ANM = góc AKE.
- Ta có góc AKE = góc ACE (vì AE là đường kính của đường tròn (I)), nên góc ANM = góc ACE.
- Ta có góc ACE = góc ACN (vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)), nên góc ANM = góc ACN.
- Ta có góc ACN = góc ACH (vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)), nên góc ANM = góc ACH.
- Ta có góc ANM = góc ACH = góc AOH (vì AO vuông góc với OH), nên góc ANM = góc AOH.
- Ta có góc AOH = góc ONA (vì AO vuông góc với OH), nên góc ANM = góc ONA.
Vậy ta có góc ANM = góc ONA.

c) Ta có:
- DH // OB (vì DH là tiếp tuyến của đường tròn (O)), nên góc DHB = góc OBA.
- Ta có góc OBA = góc OBC (vì BC là dây cung của đường tròn (O)), nên góc DHB = góc OBC.
- Ta có góc DHB = góc OBC = góc OCB (vì tam giác OBC cân tại O), nên góc DHB = góc OCB.
- Ta có góc OCB = góc OCA (vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)), nên góc DHB = góc OCA.
- Ta có góc OCA = góc OCH (vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)), nên góc DHB = góc OCH.
- Ta có góc DHB = góc OCH = góc OAH (vì AO vuông góc với OH), nên góc DHB = góc OAH.
- Ta có góc OAH = góc ONA (vì AO vuông góc với OH), nên góc DHB = góc ONA.
Vậy ta có góc DHB = góc ONA.