Để chứng minh biểu thức luôn dương, ta cần chứng minh rằng nó không bao giờ bằng 0.

Đặt biểu thức là f(x, y) = x^2 + 2y^2 - 2xy + 4x + 2y - 18.

Để tìm điều kiện để f(x, y) = 0, ta giải hệ phương trình sau:
∂f/∂x = 2x - 2y + 4 = 0,
∂f/∂y = 4y - 2x + 2 = 0.

Từ đó, ta có hệ phương trình:
x - y + 2 = 0,
2y - x + 1 = 0.

Giải hệ phương trình trên, ta có x = 3 và y = 1.

Thay x = 3 và y = 1 vào biểu thức f(x, y), ta có:
f(3, 1) = 3^2 + 2(1)^2 - 2(3)(1) + 4(3) + 2(1) - 18 = 9 + 2 - 6 + 12 + 2 - 18 = 1.

Vậy, biểu thức f(x, y) không bao giờ bằng 0 và do đó luôn dương.