**Giải bài toán:**

**a) Chứng minh \( MN = \frac{1}{2} BC \):**

Gọi \( P \) là giao điểm của \( MN \) và \( AI \).

Vì \( MN \parallel BC \) và \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên theo định lí Thales:

\[\frac{PM}{PA} = \frac{PN}{PB} = \frac{MN}{BC}.\]

Nhưng \( PA = PI \) vì \( AI \) là tia phân giác của \( \angle A \), nên:

\[\frac{PM}{PI} = \frac{PN}{PB} = \frac{MN}{BC}.\]

Nhưng \( PI \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \), nên \( PI = \frac{1}{2}BC \). Thay vào phương trình trước:

\[\frac{PM}{\frac{1}{2}BC} = \frac{PN}{PB} = \frac{MN}{BC}.\]

Từ đó suy ra \( MN = \frac{1}{2}BC \).

**b) Chứng minh \( IB \cdot NC = IC \cdot MB \):**

Vì \( MN \parallel BC \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \), áp dụng định lí Thales:

\[\frac{IB}{IA} = \frac{IN}{IC} = \frac{NB}{NC}.\]

Nhưng \( IA = IC \) vì \( AI \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \), nên:

\[\frac{IB}{IC} = \frac{IN}{IC} = \frac{NB}{NC}.\]

Từ đó suy ra \( IB \cdot NC = IC \cdot NB \). 

Nhưng \( NB = MB \) vì \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên:

\[IB \cdot NC = IC \cdot MB.\]

**c) Chứng minh \( MN \) song song với \( AB \):**

Vì \( N \) là trung điểm của \( AC \) và \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên \( MN \parallel BC \) và \( MN = \frac{1}{2}BC \) (theo câu a).

Vậy, \( MN \) song song với \( AB \).