Cho tam giác ABC vuông tại B và AC = 2 AB. Vẽ tia phân giác AE của BAC (E thuộc BC) vẽ ED vuông góc AC (d thuộc AC)

a) Ta có AB = BC (vì tam giác ABC vuông tại B) và AC = 2AB. Vậy ta có AB = BC = x và AC = 2x.

Vì AE là tia phân giác của góc BAC nên ta có:
∠BAE = ∠CAE

Vì tam giác ABC vuông tại B nên ta có:
∠ABC = 90° - ∠BAC

Vì tam giác ADE vuông tại D nên ta có:
∠ADE = 90° - ∠AED

Ta cần chứng minh tam giác ABE = tam giác ADE, tức là cần chứng minh:
∠ABE = ∠ADE

Ta có:
∠ABE = ∠ABC + ∠CAE (do ∠BAE = ∠CAE)
= (90° - ∠BAC) + ∠CAE
= 90° - ∠BAC + ∠CAE

∠ADE = 90° - ∠AED
= 90° - (∠CAE + ∠CAE)
= 90° - 2∠CAE

Vậy để chứng minh ∠ABE = ∠ADE, ta cần chứng minh:
90° - ∠BAC + ∠CAE = 90° - 2∠CAE

Điều này tương đương với:
∠CAE = ∠BAC

Vì ∠BAE = ∠CAE nên ta có:
∠BAE = ∠BAC

Vậy ta đã chứng minh được tam giác ABE = tam giác ADE.

b) Ta cần chứng minh D là trung điểm của AC, tức là AD = DC.

Vì tam giác ABC vuông tại B nên ta có:
∠ABC = 90° - ∠BAC

Vì tam giác ADE vuông tại D nên ta có:
∠ADE = 90° - ∠AED

Ta cần chứng minh AD = DC, tức là cần chứng minh:
∠ABC = ∠ADE

Ta đã chứng minh trong phần a) rằng tam giác ABE = tam giác ADE, nên ta có:
∠ABE = ∠ADE

Vì ∠BAE = ∠CAE nên ta có:
∠BAE = ∠BAC

Vậy ta có:
∠ABC = ∠ABE + ∠CAE
= ∠ADE + ∠CAE
= ∠ADE + ∠BAE
= ∠ADE + ∠BAC

Vậy ta đã chứng minh được ∠ABC = ∠ADE, từ đó suy ra AD = DC.

Vậy D là trung điểm của AC.