Cho hình thang cân ABCD, CD là đáy lớn

a) Ta có M là trung điểm của AC nên AM = MC. Tương tự, ta có N là trung điểm của AD nên AN = ND.
Vì H là hạ của AH nên AH = 2*HM. Mà M là trung điểm của AC nên HM = MC/2. Vậy AH = 2*MC/2 = MC.
Do đó, ta có AT = AH - HT = MC - HT = DH.
Tứ giác AHDT có hai cạnh AD và HT vuông góc với nhau nên là hình chữ nhật.

b) Ta có AT = DH (chứng minh ở câu a).
Vì M là trung điểm của AC nên MN song song với HD và cắt HD ở trung điểm của HD, kí hiệu là P.
Do đó, ta có AP = PD.
Vì N là trung điểm của AD nên MN song song với HT và cắt HT ở trung điểm của HT, kí hiệu là Q.
Do đó, ta có BQ = QT.
Từ hai điều trên, ta có AP = PD và BQ = QT nên tứ giác BTHC là một hình bình hành.

c) Gọi I là giao điểm của tia DM và đường thẳng vuông góc với CD qua C.
Vì AD = CD nên góc ADC = góc ACD.
Vì góc ADC và góc ACD là hai góc đối nhau nên chúng bằng nhau.
Vì góc ACD là góc vuông nên góc ADC cũng là góc vuông.
Vậy đường thẳng vuông góc với CD qua C cắt tia DM tại điểm E sao cho góc DBE = góc IMH.