Để chứng minh các phần a) và b), ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của tam giác vuông và các đường thẳng vuông góc.

a) Ta có tam giác vuông \(ABC\) với \(OA\) là đường cao. Vì \(O\) là trung điểm của \(BC\), nên \(AO\) cũng là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\). Do đó, \(AO\) chia \(BC\) thành hai phần bằng nhau, tức là \(BO = OC\).

Vì \(Bx\) là đường thẳng vuông góc với \(BC\) và cùng phía với \(A\), nên \(Bx\) cắt \(AO\) tại điểm \(M\) sao cho \(AM\) là đường cao của tam giác \(ABx\). Khi đó, ta có \(AM \perp Bx\).

Vì \(MO\) song song với \(AB\), nên theo tính chất của tam giác vuông, ta có \(AM = MO\).

Do đó, ta có \(EF = AO\) vì \(EF\) là đường thẳng vuông góc với \(AO\) và đi qua \(A\).

b) Ta đã chứng minh được \(EF = AO\) ở phần a).

Vì \(MO\) song song với \(AB\), nên theo tính chất của tam giác vuông, ta có \(AM = MO\).

Vì \(BD\) song song với \(CM\), nên theo định lí của tam giác, ta có \(\frac{BD}{DC} = \frac{BM}{MC}\).

Vì \(O\) là trung điểm của \(BC\), nên theo định lí của tam giác, ta có \(\frac{BM}{MC} = \frac{BO}{OC} = 1\).

Do đó, ta có \(\frac{BD}{DC} = 1\), tức là \(BD = DC\).

Vì \(BD = DC\), \(AM = MO\), và \(EF = AO\) (theo phần a)), nên theo định lí của tam giác, ta có ba điểm \(E, I, F\) thẳng hàng.