a) Tam giác ABE là tam giác cân vì BE = BA.

Chứng minh: Ta có BE = BA (đúng theo định nghĩa), và góc BDE = góc BDA + góc ADE (đúng theo tính chất của tia phân giác).

Vì AB = AE (đúng theo định nghĩa), nên góc BDA = góc ADE (đúng theo tính chất của tam giác cân).

Vậy, ta có góc BDE = góc BDA + góc ADE = góc ADE + góc ADE = 2góc ADE.

Do đó, tam giác ABD và tam giác EBD có 2 góc bằng nhau, nên chúng là 2 tam giác đồng dạng.

b) Chứng minh DE vuông góc BC.

Ta có góc BDE = góc BDA + góc ADE (đúng theo tính chất của tia phân giác).

Vì tam giác ABD và tam giác EBD là 2 tam giác đồng dạng (đã chứng minh ở câu a), nên góc BDA = góc ADE.

Vậy, góc BDE = góc BDA + góc ADE = góc ADE + góc ADE = 2góc ADE.

Nhưng góc ADE là góc nhọn (vì A là góc vuông của tam giác ABC), nên góc BDE là góc nhọn.

Do đó, DE vuông góc BC.

c) Chứng minh BD là đường trung trực của AE.

Ta có BE = BA (đúng theo định nghĩa), và góc BDE = góc BDA + góc ADE (đúng theo tính chất của tia phân giác).

Vì tam giác ABD và tam giác EBD là 2 tam giác đồng dạng (đã chứng minh ở câu a), nên góc BDA = góc ADE.

Vậy, góc BDE = góc BDA + góc ADE = góc ADE + góc ADE = 2góc ADE.

Nhưng góc ADE là góc nhọn (vì A là góc vuông của tam giác ABC), nên góc BDE là góc nhọn.

Vậy, BD là đường trung trực của AE.