1) Để số 20 - P^2 không chia hết cho 24, ta cần tìm số nguyên tố P sao cho P^2 - 20 chia hết cho 24. Ta có thể thử từng số nguyên tố P để kiểm tra điều kiện này.

2) Để chứng minh công thức trên, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp. Đầu tiên, ta kiểm tra công thức này với n = 1: căn bậc hai của (1) = 1. Đúng.

Giả sử công thức này đúng với n = k, tức là căn bậc hai của (1 + 2 + 3 + .... + (k - 1) + k + (k - 1) + .... + 3 + 2 + 1) = k.

Ta cần chứng minh công thức này cũng đúng với n = k + 1, tức là căn bậc hai của (1 + 2 + 3 + .... + (k - 1) + k + (k - 1) + .... + 3 + 2 + 1 + (k + 1) + 1 + 2 + 3 + .... + (k - 1) + k) = k + 1.

Ta có:
1 + 2 + 3 + .... + (k - 1) + k + (k - 1) + .... + 3 + 2 + 1 + (k + 1) + 1 + 2 + 3 + .... + (k - 1) + k
= (1 + 2 + 3 + .... + (k - 1) + k + (k - 1) + .... + 3 + 2 + 1) + (k + 1) + (1 + 2 + 3 + .... + (k - 1) + k)
= k + (k + 1) + k
= 3k + 1.

Căn bậc hai của (3k + 1) = căn bậc hai của 3k + căn bậc hai của 1.

Vì căn bậc hai của 1 = 1, nên căn bậc hai của (3k + 1) = căn bậc hai của 3k + 1.

Vậy công thức trên đúng với n = k + 1. Do đó, công thức này đúng với mọi số nguyên dương n.

3a) Để tìm (x, y) thuộc N sao cho x^2 + 55 = 4y^2, ta có thể sử dụng phương pháp giải phương trình Pell. Phương trình này tương đương với phương trình Pell x^2 - 4y^2 = -55.

3b) Để chứng minh a^3 + b^3 + c^3 chia hết cho 6 khi a + b + 2024c = c^3, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng phương pháp giả sử. Giả sử a + b + 2024c = c^3 chia hết cho 6, ta cần chứng minh a^3 + b^3 + c^3 chia hết cho 6.