Cho đường thẳng d là tiếp tuyến chung trong 2 đường tròn

Để giải bài toán này, ta sử dụng định lí về tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Định lí: Đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của hai đường tròn và cắt đoạn nối hai tâm của hai đường tròn là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Vì đường thẳng d là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O;3 cm) và (O';6 cm), nên ta có hai tiếp điểm A và B trên đường thẳng d. Khi đó, ta có OA ⊥ d và O'B ⊥ d.

Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Ta có AM = MB = 6 cm (vì AB = 12 cm).

Vì OA ⊥ d và O'B ⊥ d, nên ta có OA ⊥ AM và O'B ⊥ MB.

Do đó, tam giác OAM và tam giác O'BM là hai tam giác vuông cân.

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông, ta có:

OA² = OM² + AM²
O'B² = OM² + MB²

Vì OM = 1/2 AB = 1/2 * 12 = 6 cm, AM = MB = 6 cm, nên ta có:

OA² = 6² + 6² = 72 cm²
O'B² = 6² + 6² = 72 cm²

Vậy, ta có OA = O'B = √72 = 6√2 cm.

Khoảng cách OO' là tổng các bán kính của hai đường tròn và khoảng cách giữa hai tâm đường tròn.

Vì bán kính đường tròn (O;3 cm) là 3 cm và bán kính đường tròn (O';6 cm) là 6 cm, nên ta có:

OO' = 3 cm + 6 cm = 9 cm.

Vậy, khoảng cách OO' là 9 cm.