a) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC. Vì AD = AE, nên ta có BD = CE.
Gọi x = BD = CE.
Ta có tam giác BDE và tam giác CDE là tam giác cân (BD = CE) và có cùng góc EDB = EDC (cùng là góc nội tiếp của tam giác ABC).
Do đó, theo định lý cạnh bên, ta có BE = CD.

b) Ta có tam giác BDE và tam giác CDE là tam giác cân và có cùng cạnh DE.
Vì BM là đường phân giác của góc B và CM là đường phân giác của góc C, nên ta có:
∠BMD = ∠BME (do BM là đường phân giác của góc B)
∠CME = ∠CMD (do CM là đường phân giác của góc C)
Vì BM = CM (cùng là đường phân giác của tam giác ABC), nên ta có:
∠BMD = ∠BME = ∠CME = ∠CMD
Do đó, tam giác BMD = tam giác CME (cùng có 2 góc bằng nhau).

c) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên ta có AB = AC.
Vì AD = AE, nên ta có tam giác ADE là tam giác cân (AD = AE) và có cùng cạnh DE.
Gọi AM là tia phân giác của góc BAC.
Vì BM là đường phân giác của góc B và CM là đường phân giác của góc C, nên ta có:
∠BMD = ∠BME (do BM là đường phân giác của góc B)
∠CME = ∠CMD (do CM là đường phân giác của góc C)
Vì tam giác BMD = tam giác CME (chứng minh ở bước b), nên ta có:
∠BMD = ∠CME
Do đó, tam giác AMD = tam giác AME (cùng có 2 góc bằng nhau).
Vậy, AM là tia phân giác của góc BAC.