Cho hệ phương trình: (m - 1)x + y = 2 và 2x + y = m + 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: 2x + y ≤ 3

Để chứng minh rằng hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y ≤ 3 với mọi giá trị của m, ta sẽ giải hệ phương trình và kiểm tra điều kiện này.

Đầu tiên, ta giải hệ phương trình:
(m-1)x + y = 2 (1)
2x + y = m+1 (2)

Ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách sử dụng phương pháp loại trừ hoặc cộng thêm. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta sẽ sử dụng phương pháp cộng thêm để giải hệ phương trình.

Đầu tiên, ta nhân cả hai vế của phương trình (1) với 2:
2(m-1)x + 2y = 4 (3)

Tiếp theo, ta trừ phương trình (3) cho phương trình (2):
(2(m-1)x + 2y) - (2x + y) = 4 - (m+1)
2mx - 2x + 2y - y = 3 - m

Rút gọn các thành phần tương tự:
(2m - 2 - 1)x + (2 - 1)y = 3 - m
(2m - 3)x + y = 3 - m (4)

Ta thấy rằng phương trình (4) giống với phương trình (1) ban đầu. Điều này cho thấy rằng hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) không phụ thuộc vào giá trị của m.

Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra điều kiện 2x+y ≤ 3 với mọi giá trị của m.

Thay (x;y) từ phương trình (1) vào phương trình 2x+y ≤ 3:
2x + y ≤ 3
2((m-1)x + 2 - (m-1)) + ((m-1)x + 2) ≤ 3
2(m-1)x + 4 - 2(m-1) + (m-1)x + 2 ≤ 3
2mx - 2x + 4 - 2m + 2 + mx + 2 ≤ 3
3mx - 2x - 2m + 8 ≤ 3
3mx - 2x ≤ -5 + 2m

Để chứng minh rằng 3mx - 2x ≤ -5 + 2m với mọi giá trị của m, ta sẽ chứng minh rằng hàm số f(m) = 3mx - 2x - 2m là một hàm giảm trên khoảng (-∞, +∞).

Để chứng minh điều này, ta lấy đạo hàm của f(m) theo m:
f'(m) = 3x - 2

Đạo hàm f'(m) luôn dương với mọi giá trị của x. Điều này cho thấy rằng f(m) là một hàm giảm trên khoảng (-∞, +∞).

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng với mọi giá trị của m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y ≤ 3.