Cho tam giác ABC có AB<AC

a) CMR: góc AMB < AMC

Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC.

Giả sử góc AMB ≥ AMC, tức là góc AMB lớn hơn hoặc bằng góc AMC.

Khi đó, ta có góc AMB + góc AMC ≥ 180° (vì tổng các góc trong tam giác là 180°).

Tuy nhiên, góc AMB + góc AMC = góc BAC (góc ngoại tiếp của tam giác AMB và AMC).

Vì AB < AC, nên góc BAC < 180°.

Từ đó suy ra góc AMB < AMC, điều cần chứng minh.

b) CMR: góc MAB > CAM

Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC.

Giả sử góc MAB ≤ CAM, tức là góc MAB nhỏ hơn hoặc bằng góc CAM.

Khi đó, ta có góc MAB + góc CAM ≤ 180° (vì tổng các góc trong tam giác là 180°).

Tuy nhiên, góc MAB + góc CAM = góc BAC (góc ngoại tiếp của tam giác MAB và CAM).

Vì AB < AC, nên góc BAC < 180°.

Từ đó suy ra góc MAB > CAM, điều cần chứng minh.

c) Trên đoạn AM lấy điểm E tùy ý. CM: EB < EC

Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC.

Khi đó, ta có AM = AB + BM < AB + MC = AC.

Do đó, điểm E nằm giữa A và C trên đoạn AM.

Vì EB là đoạn thẳng nối từ E đến B và EC là đoạn thẳng nối từ E đến C, nên EB + EC > BC.

Tuy nhiên, BM = MC, nên EB + EC = EM + MC = AM.

Vì AM < AC, nên EB + EC < AC.

Từ đó suy ra EB < EC, điều cần chứng minh.