Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O

a) Ta có:
- Góc ABC và góc BNC cùng nằm trên cùng một cung BC nên góc ABC = góc BNC.
- Góc ACB và góc CKM cùng nằm trên cùng một cung AC nên góc ACB = góc CKM.
- Góc BAC và góc BKM cùng nằm trên cùng một cung AB nên góc BAC = góc BKM.
Do đó, ta có tứ giác BCNK là tứ giác nội tiếp.
Gọi O' là tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác BCNK. Ta cần chứng minh rằng O' trùng với O.
Ta có:
- Góc BNC = góc ABC (cùng nằm trên cùng một cung BC)
- Góc BNC = góc BKC (tứ giác BCNK nội tiếp)
- Góc ABC = góc BKC (tứ giác ABCD nội tiếp)
=> Góc ABC = góc BKC = góc BAC
=> Tam giác ABC đều
=> O trùng với O'
Vậy, bốn điểm B, C, N, K cùng thuộc đường tròn tâm O' và bán kính của đường tròn đó là OB = OC = ON = OK.

b) Ta có:
- Góc AHI là góc giữa hai đường thẳng AO và NK.
- Góc ADM là góc giữa hai đường thẳng AO và DM.
Vì tứ giác BCNK là tứ giác nội tiếp, nên góc BNC = góc BKC = góc BAC.
Do đó, góc AHI = góc BAC.
Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp, nên góc BAC = góc BDC = góc ADM.
Vậy, góc AHI = góc ADM.
Ta có:
- AO là đường cao của tam giác ABC (do tam giác ABC đều)
- NK là đường cao của tam giác BNC (do tam giác BNC đều)
Vậy, AO ⊥ NK.

c) Ta có:
- E là hình chiếu của điểm H trên NK.
- F là hình chiếu của điểm H trên MK.
- EF là đường thẳng nối hai điểm E và F.
- P là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng EF.
Ta cần chứng minh PN // BC.
Do tam giác ABC đều, nên góc BAC = 60 độ.
Ta có:
- Góc AHI = góc ADM (đã chứng minh ở bước b)
- Góc AHI = góc BAC = 60 độ
=> Góc ADM = 60 độ
Vậy, tam giác ADM cũng là tam giác đều.
Do đó, AM ⊥ DM và PN ⊥ DM.
Vì vậy, PN // BC.