a) Ta có BM = BA, nên tam giác ABM cân tại M. Vì vậy, ta có AM = BM.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có AB > AC. Như vậy, AM > AC.
Do đó, ta có tam giác AEM cân tại E. Vì vậy, ta có AE = EM.
Vậy, ta có hai cặp cạnh bằng nhau trong tam giác AEM và tam giác ABM.
Do đó, theo định lí cạnh - góc - cạnh, ta có EH vuông góc BC.

b) Ta có tam giác AEM cân tại E, nên BE là đường trung trực của AH.

c) Ta có tam giác AEM cân tại E, nên AE = EM.
Vì BM = BA, nên tam giác ABM cân tại M. Do đó, AM = BM.
Vậy, ta có AE = EM = AM.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có AB > AC. Như vậy, AM > AC.
Do đó, ta có tam giác AEC cân tại E. Vậy, ta có EK = EC.

d) Ta có tam giác AEM cân tại E, nên BE là đường trung trực của AH.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có AB > AC. Như vậy, AM > AC.
Do đó, ta có tam giác AEC cân tại E. Vậy, ta có EC = AC.
Vì BE là đường trung trực của AH, nên ta có BH = AH.
Vậy, ta có tam giác BHC cân tại H. Do đó, ta có CH = BH.
Vậy, ta có AH = BH = CH.
Vì vậy, ta có AH // KC.