Để chứng minh rằng đường thẳng AM chia đoạn BC thành hai phần bằng nhau, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

Gọi I là trung điểm của đoạn BC. Ta cần chứng minh rằng AI là đường trung trực của đoạn BC.

Vì đường tròn (O2) tiếp xúc với đường thẳng AB tại B, nên góc ABC là góc ngoại tiếp của tam giác ABC. Do đó, góc ABC = góc ACB.

Vì đường tròn (O1) tiếp tuyến tại A và B, nên góc AOB là góc nội tiếp của tam giác ABC. Do đó, góc AOB = 2 * góc ACB.

Vì đường tròn (O2) cắt đường tròn (O1) tại M, nên góc MCB là góc ngoại tiếp của tam giác MCB. Do đó, góc MCB = góc MBC.

Vì đường tròn (O1) tiếp tuyến tại A và B, nên góc AMB là góc nội tiếp của tam giác MCB. Do đó, góc AMB = 2 * góc MCB.

Từ các quan sát trên, ta có:
góc AOB = 2 * góc ACB
góc AMB = 2 * góc MCB

Vì góc AOB = 2 * góc ACB và góc AMB = 2 * góc MCB, nên góc AOB = góc AMB.

Vậy, ta có góc AOB = góc AMB, tức là tam giác AOB và tam giác AMB có cùng một góc.

Do đó, theo tính chất của các góc nội tiếp, ta có AI là đường trung trực của đoạn BC.

Vậy, đường thẳng AM chia đoạn BC thành hai phần bằng nhau.