a) Ta có:
- Vì BD là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc BOD = góc BCD (góc nội tiếp cùng cung BD).
- Góc BCD = góc BED (góc nội tiếp cùng cung BD).
- Góc BED = góc BEH (góc nội tiếp cùng cung BE).
Vậy ta có: góc BOD = góc BEH.
- Vì BD là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc BDO = góc BCD (góc nội tiếp cùng cung BD).
- Góc BCD = góc BED (góc nội tiếp cùng cung BD).
- Góc BED = góc BEH (góc nội tiếp cùng cung BE).
Vậy ta có: góc BDO = góc BEH.
Từ hai quan sát trên, ta có: góc BOD = góc BDO = góc BEH.
Vậy OD là đường trung trực của BE.
b) Ta có:
- Góc BOD = góc BEH (chứng minh ở câu a).
- Góc BDO = góc BEH (chứng minh ở câu a).
Vậy hai tam giác BOD và BEH có hai góc tương đương, nên chúng tương đồng.
Từ đó, ta có:
- DH/DA = BH/BA (định lý đường trung bình trong tam giác).
- DH/DC = BH/BE (định lý đường trung bình trong tam giác).
Vậy DH/DA = DH/DC, suy ra DH.DO = DA.DC.
- Góc AHD = góc BHD (hai góc tương đương).
- Góc BHD = góc BCD (hai góc nội tiếp cùng cung BD).
- Góc BCD = góc ACB (góc nội tiếp cùng cung BD).
Vậy góc AHD = góc ACB.
c) Ta có:
- Góc AHD = góc ACB (chứng minh ở câu b).
- Góc AHD = góc MDC (hai góc đồng quy).
Vậy góc ACB = góc MDC.
Từ đó, ta có:
- Góc DHM = góc DCM (hai góc đồng quy).
- Góc DHM = góc DAC (hai góc nội tiếp cùng cung DM).
- Góc DAC = góc DAM (góc nội tiếp cùng cung DM).
Vậy góc DHM = góc DAM.
Từ đó, ta có:
- Tam giác DHM và tam giác DAM có hai góc tương đương, nên chúng tương đồng.
- DH/DA = DM/DH (định lý đường trung bình trong tam giác).
Vậy DH² = DA.DM.