a) Ta có AM = MD (theo định nghĩa của điểm D), AM = MB (theo định nghĩa của điểm M). Vậy tam giác AMB và tam giác AMD là tam giác cân tại A. Do đó, ta có AMAB = AMDC.

b) Ta có AM = MD (theo định nghĩa của điểm D), AM = MB (theo định nghĩa của điểm M). Vậy tam giác AMB và tam giác AMD là tam giác cân tại A. Do đó, góc AMB = góc AMD. Nhưng góc AMD là góc ngoài của tam giác ACD (do AB // CD), nên góc AMB cũng bằng góc ngoài của tam giác ACD. Vậy AB // CD.

c) Ta có AM = MD (theo định nghĩa của điểm D), AM = MB (theo định nghĩa của điểm M). Vậy tam giác AMB và tam giác AMD là tam giác cân tại A. Do đó, góc AMB = góc AMD. Nhưng góc AMD là góc ngoài của tam giác ACD (do AB // CD), nên góc AMB cũng bằng góc ngoài của tam giác ACD. Vậy tam giác AMB và tam giác ACD có cùng một góc ngoài, nên chúng bằng nhau. Tương tự, ta có góc BAC = góc CDA. Vậy tam giác AABC và tam giác ACDA là hai tam giác đồng dạng. Do đó, AABC = ACDA.

Ta cũng có AM = MD (theo định nghĩa của điểm D), AM = MB (theo định nghĩa của điểm M). Vậy tam giác AMB và tam giác AMD là tam giác cân tại A. Do đó, AB = BM và AD = DM. Nhưng ta cũng có AB = BM (theo định nghĩa của điểm M), nên AB = BM = AD = DM. Vậy BC = AD.

d) Ta có E là trung điểm của AC, nên AE = EC. Ta cũng có AM = MD (theo định nghĩa của điểm D), AM = MB (theo định nghĩa của điểm M). Vậy tam giác AMB và tam giác AMD là tam giác cân tại A. Do đó, góc AMB = góc AMD. Nhưng góc AMD là góc ngoài của tam giác ACD (do AB // CD), nên góc AMB cũng bằng góc ngoài của tam giác ACD. Vậy tam giác AMB và tam giác ACD có cùng một góc ngoài, nên chúng bằng nhau.

Ta cũng có AE = EC, nên góc AEM = góc CEM. Nhưng góc CEM là góc ngoài của tam giác MFI (do BD // FI), nên góc AEM cũng bằng góc ngoài của tam giác MFI. Vậy tam giác AEM và tam giác MFI có cùng một góc ngoài, nên chúng bằng nhau.

Vậy tam giác AEM và tam giác MFI có cùng hai góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng. Do đó, E, M, F thẳng hàng.