Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các kiến thức về đường cao và diện tích của tam giác.

Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Ta có ME = MC = 3cm.

Vì EB = EC, ta có tam giác EBC là tam giác cân tại E. Do đó, đường cao BH cũng là đường trung tuyến của tam giác EBC. Vậy, BM = MC = 3cm.

Do đó, tam giác BMC là tam giác đều với cạnh BM = MC = 3cm.

Gọi x là độ dài đoạn thẳng AH. Khi đó, AM = MC = 3cm và AH = 2x.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABH, ta có:

AB^2 = AH^2 + BH^2
=> (6 - x)^2 = (2x)^2 + 3^2
=> 36 - 12x + x^2 = 4x^2 + 9
=> 3x^2 + 12x - 27 = 0
=> x^2 + 4x - 9 = 0
=> (x + 3)(x - 3) = 0

Vì x là độ dài đoạn thẳng, nên x > 0. Vậy, ta có x = 3.

a/ Độ dài đoạn thẳng AH là 2x = 2 * 3 = 6cm.

b/ Diện tích tam giác AHE là diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích tam giác CEH.

Diện tích tam giác ABC = 1/2 * AC * BH = 1/2 * 6 * 3 = 9 cm^2.

Diện tích tam giác CEH = 1/2 * EC * EH = 1/2 * 3 * 3 = 4.5 cm^2.

Vậy, diện tích tam giác AHE = 9 - 4.5 = 4.5 cm^2.