Cho tam giác ABC, E là điểm chính giữa của cạnh AB, D là điểm chính giữa của cạnh AC. Nối điểm C với điểm E, nối điểm B với điểm D; khi đó CE cắt BD tại G, kéo dài AG cắt cạnh BC tại M. Chứng tỏ..

Để chứng minh các phần a, b, c, ta sẽ sử dụng các định lí về điểm chính giữa và đường thẳng chia đôi.

a) Ta có e là điểm chính giữa cạnh AB, d là điểm chính giữa cạnh AC. Khi đó, theo định lí về điểm chính giữa, ta có CE là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, CE chia AB thành hai đoạn bằng nhau, tức là AE = EB.

Vì d là điểm chính giữa cạnh AC, nên AD = DC. Khi đó, theo định lí về điểm chính giữa, ta có BD là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, BD chia AC thành hai đoạn bằng nhau, tức là AD = DC.

Vậy ta có AE = EB và AD = DC. Khi đó, ta có thể kết luận rằng tam giác AEB và tam giác CDB là hai tam giác đồng dạng (do có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng bằng nhau). Do đó, diện tích của tam giác AEB bằng diện tích tam giác CDB.

Tuy nhiên, ta cũng có thể thấy rằng tam giác AEB và tam giác BGC là hai tam giác đồng dạng (do có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng bằng nhau). Vì vậy, diện tích của tam giác AEB cũng bằng diện tích tam giác BGC.

Từ đó, ta có diện tích tam giác ABG bằng diện tích tam giác BGC.

b) Ta có cùng lý luận như trên, diện tích tam giác ACG bằng diện tích tam giác BCG.

c) Ta đã chứng minh ở phần a) rằng tam giác AEB và tam giác CDB là hai tam giác đồng dạng. Khi đó, ta có AM là đường trung bình của tam giác CDB. Do đó, AM chia BC thành hai đoạn bằng nhau, tức là BM = MC.

Vậy ta có BM = MC. Khi đó, ta có thể kết luận rằng m là điểm chính giữa cạnh BC.