Để tìm điều kiện xác định của phân số $\frac{2x^2+x-3}{x^2+5x+4}$, ta cần xem xét các giá trị của x mà làm cho mẫu số $x^2+5x+4$ khác 0.

Điều kiện xác định của mẫu số là $x^2+5x+4 \neq 0$.

Để giải phương trình $x^2+5x+4 = 0$, ta có thể sử dụng phương trình bậc 2 hoặc phân tích thành nhân tử.

Sử dụng phương trình bậc 2, ta có:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Với $a=1$, $b=5$, $c=4$, ta tính được:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4(1)(4)}}{2(1)}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25-16}}{2}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2}$

$x = \frac{-5 \pm 3}{2}$

Vậy, ta có hai nghiệm của phương trình là $x_1 = -4$ và $x_2 = -1$.

Tuy nhiên, ta cần loại bỏ các nghiệm này vì chúng làm cho mẫu số bằng 0.

Vậy, điều kiện xác định của phân số $\frac{2x^2+x-3}{x^2+5x+4}$ là $x \neq -4$ và $x \neq -1$.