Để chứng minh các quan hệ trên, ta sử dụng các định lý và thuộc tính của tam giác vuông và đường cao.

1A. Ta có tam giác DEF vuông tại D và DI là đường cao, suy ra góc EDF = 90 độ.

Do đó, ta có tam giác EID cũng vuông tại D.

Vì AE là đường cao của tam giác DEF nên AE vuông góc với DF.

Vì EIDC là hình chữ nhật, nên góc EID = 90 độ.

Từ đó, ta có góc AEI = góc EID = góc EDF = góc EAF.

Vậy tam giác AEI và tam giác EAF có cặp góc bằng nhau, suy ra tam giác AEI đồng dạng với tam giác EAF.

Bằng cách tương tự, ta cũng chứng minh được tam giác EFI đồng dạng với tam giác DAF.

Như vậy, tứ giác AEID và tứ giác AEDF là đồng dạng.

Do đó, AE = AD và AI = AF.

1B. Ta đã chứng minh rằng tứ giác AEID và tứ giác AEDF đồng dạng.

Vì vậy, các cạnh của tứ giác AEID và tứ giác AEDF có tỷ lệ bằng nhau.

Theo định lý đồng dạng, tỷ lệ các cạnh của hai tam giác đồng dạng bằng tỷ lệ các cạnh tương ứng.

Vì vậy, ta có: AE/AD = IE/ID và AD/AF = ID/IF.

Từ hai phương trình trên, suy ra: AE/AF = IE/IF.

Nhân cả hai vế với AF, ta có: AE.AF = IE.IF.

Vậy, ta có: ED² = AE.AF = (IE.IF) (vì AF = IE).

2A. Theo giả thiết cho, tam giác DEF vuông tại D, suy ra góc EDF = 90 độ.

Vì DI là đường cao của tam giác DEF, nên góc EDF = 90 độ.

Do đó, tam giác EID cũng vuông tại D.

Vậy, tứ giác AEID là hình chữ nhật. Vậy, AE // ID.

Từ đó, ta có tam giác AID và tam giác EAF đồng dạng và hai tam giác có cặp góc tương đương.

Suy ra, tam giác AID và tam giác AEF đồng dạng.

Vậy, tứ giác AFID và tứ giác AFDE là đồng dạng.

Vì vậy, AD/AF = AI/AE = ID/IE.

Ta nhân cả hai vế của phương trình với AF, ta có: AD = ID/AF * AF = ID.IF.

2B. Ta đã chứng minh được rằng tứ giác AFID và tứ giác AFDE là đồng dạng.

Vậy, các cạnh của tứ giác AFID và tứ giác AFDE có tỷ lệ bằng nhau.

Từ đó, ta có: AD/AF = ID/IE = FD/FE.

Từ phương trình trên, suy ra: FD = AD * FE/AF = ID.IF * FE/AF = ID.FE.

Vậy, ta có: FD² = (ID.FE) = (ID.IF) = FI.FE.

3A. Ta đã chứng minh được rằng tam giác AID và tam giác AEF đồng dạng.

Vậy, các góc của hai tam giác tương đương nhau.

Từ đó, ta có: góc AID = góc ADE.

Vì tam giác DEF vuông tại D nên góc EDF = 90 độ.

Suy ra, góc ADE = góc EDF = 90 độ.

Từ đó, ta có tam giác AED vuông tại A.

Vậy, ADIEAFID là một tứ giác chữ nhật, suy ra ID || AE.

3B. Ta đã chứng minh được rằng tứ giác ADIEAFID là hình chữ nhật.

Vậy, ADIEAFID là một tứ giác chữ nhật, suy ra ID ⊥ IE và ID ⊥ IF.

Từ đó, tam giác EFI là tam giác vuông tại I.

Vậy, ta có: ID² = IE² + IEI² = IE.IF.