Để giải phương trình này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Đặt \(y = (x+1)^2\), phương trình trở thành \(y + \frac{y}{(x+2)^2} = 8\).

2. Nhân cả hai vế của phương trình với \((x+2)^2\), ta có \(y(x+2)^2 + y = 8(x+2)^2\).

3. Mở ngoặc và thu gọn biểu thức, ta được \(y(x^2 + 4x + 4) + y = 8(x^2 + 4x + 4)\).

4. Tiếp tục thu gọn biểu thức, ta có \(yx^2 + 4yx + 4y + y = 8x^2 + 32x + 32\).

5. Đưa tất cả các thành phần chứa \(x\) về cùng một vế và các thành phần không chứa \(x\) về cùng một vế, ta được \(yx^2 + (4y-8)x + (4y + y - 32) = 0\).

6. Để phương trình trở thành một phương trình bậc hai, ta cần có hệ số của \(x^2\) khác 0. Vì vậy, ta giả sử \(y \neq 0\).

7. Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai, ta có:

\[x = \frac{-(4y-8) \pm \sqrt{(4y-8)^2 - 4y(4y+y-32)}}{2y}\]

\[x = \frac{-(4y-8) \pm \sqrt{16y^2 - 64y + 64 - 16y^2 - 4y^2 + 128y}}{2y}\]

\[x = \frac{-(4y-8) \pm \sqrt{-20y^2 + 64y + 64}}{2y}\]

8. Để phương trình có nghiệm, ta cần có \(-20y^2 + 64y + 64 \geq 0\).

9. Giải phương trình bậc nhất \(-20y^2 + 64y + 64 = 0\), ta được \(y = \frac{-8}{5}\) hoặc \(y = 4\).

10. Kiểm tra các giá trị của \(y\) trong điều kiện \(y \neq 0\) và \(y \geq \frac{-8}{5}\), ta tìm được \(y = 4\) là giá trị thỏa mãn.

11. Thay \(y = 4\) vào phương trình \(x = \frac{-(4y-8) \pm \sqrt{-20y^2 + 64y + 64}}{2y}\), ta được \(x = -1\) hoặc \(x = -3\).

Vậy, phương trình có hai nghiệm là \(x = -1\) và \(x = -3\).