Chứng minh rằng 2 đường tròn (I) và (K) tiếp xúc với nhau

Để chứng minh rằng hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc với nhau, ta cần chứng minh rằng điểm tiếp xúc của hai đường tròn này nằm trên đường chéo AC.

Gọi M là giao điểm của đường tròn (I) và đường tròn (K). Ta cần chứng minh rằng M nằm trên đường chéo AC.

Gọi E là giao điểm của đường tròn (I) và đường AB. Ta có:
- Góc AOB = 180° - góc ABC (vì hình thang cân ABCD)
- Góc AEB = 180° - góc AOB (vì A, E, O, B cùng nằm trên đường tròn (I))
- Góc AEB = góc ABC (vì tam giác ABC cân tại A)

Tương tự, gọi F là giao điểm của đường tròn (K) và đường CD, ta có:
- Góc COD = 180° - góc CDA (vì hình thang cân ABCD)
- Góc CFD = 180° - góc COD (vì C, F, O, D cùng nằm trên đường tròn (K))
- Góc CFD = góc CDA (vì tam giác CDA cân tại C)

Do đó, ta có:
- Góc AEB = góc ABC = góc CDA = góc CFD

Vậy, ta có hai góc AEB và CFD bằng nhau. Từ đó, ta suy ra tam giác AEB và tam giác CFD đồng dạng.

Do đó, ta có:
- Góc EAB = góc FCD (vì tam giác AEB và tam giác CFD đồng dạng)
- Góc EMA = góc FMC (vì tam giác AEM và tam giác CFM đồng dạng)

Vậy, ta có hai góc EAB và FCD bằng nhau, và hai góc EMA và FMC bằng nhau. Từ đó, ta suy ra tam giác EMA và tam giác FMC đồng dạng.

Vì tam giác EMA và tam giác FMC đồng dạng, nên ta có:
- Góc EAM = góc FCM (vì tam giác EMA và tam giác FMC đồng dạng)
- Góc EAM + góc FCM = 180° (vì góc EAM và góc FCM là hai góc đối của tam giác EMA và tam giác FMC)

Từ đó, ta suy ra góc EAM + góc FCM = 180°.

Vì A, O, C cùng nằm trên đường thẳng AC, nên góc EAM và góc FCM là hai góc đối của cùng một cặp cung AM và MC trên đường tròn (I) và (K) tương ứng.

Vậy, ta có AM // MC và AM = MC.

Do đó, M nằm trên đường chéo AC của hình thang ABCD.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng điểm tiếp xúc của hai đường tròn (I) và (K) nằm trên đường chéo AC.