Cho tam giác ABC vuông tại A

a) Ta có BE = BA (theo đề bài).
Vì tia phân giác của góc B cắt AC tại D, nên góc ADB = góc BDE (do AD là tia phân giác của góc B).
Vì AB = BE, nên góc ABD = góc BED (cùng là góc nhọn).
Vậy tam giác ABD = tam giác EBD (theo góc - góc - góc).

b) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.
Vì AD là tia phân giác của góc B, nên góc BAD = góc DAC.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.
Vậy góc BAD + góc DAC = 90 độ.
Do đó, tam giác ABD cũng vuông tại D.
Vì tam giác ABD = tam giác EBD (đã chứng minh ở câu a), nên tam giác EBD cũng vuông tại D.

c) Gọi F là giao điểm của DE và AB.
Ta cần chứng minh DC = DF.
Vì tam giác ABD = tam giác EBD (đã chứng minh ở câu a), nên góc ADB = góc BED.
Vì góc ADB = góc BED, góc BAD = góc BDE và góc BAC = góc BEC (cùng là góc nhọn), nên tam giác ABD tương đồng với tam giác EBD (theo góc - góc - góc).
Vậy tỉ số đồng dạng giữa các cặp cạnh của tam giác ABD và tam giác EBD là bằng nhau.
Do đó, ta có:
AB/EB = AD/ED
Vì BE = BA, nên AB/BA = AD/ED
Vậy AB.AD = BA.ED
Vì F là giao điểm của DE và AB, nên AB.AF = BA.EF
Do đó, AB.AD = AB.AF
Vậy AD = AF
Vì tam giác ADF là tam giác cân (AD = AF), nên góc ADF = góc DAF.
Vì tam giác ADF cân tại D, nên góc DAF = góc DFA.
Vậy góc ADF = góc DFA.
Vì tam giác ADF = tam giác EDF (cùng là tam giác cân), nên góc EDF = góc DFA.
Vậy tam giác EDF cân tại D.
Vì tam giác EDF cân tại D, nên góc EDF = góc EFD.
Vậy tam giác EDF vuông tại D.
Vậy DC = DF (cạnh huyền của tam giác vuông EDF).
Vậy DC = DF.