Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn,kẻ tiếp tuyên Bx với đường tròn (O). Điểm M di động trên tia Bx (M khác B), AM cắt nửa đường tròn (O) tại điểm n (N khác A)..

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học và các định lí liên quan đến đường tròn và tiếp tuyến.

a) Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp. Gọi G là giao điểm của BM và OE. Ta cần chứng minh O, B, M, E cùng thuộc một đường tròn.

Góc BON = 90 độ (do OB là đường kính của đường tròn (O))
Góc BAN = 90 độ (do AN ⊥ AB)
Vậy góc BON = góc BAN = 90 độ.

Do đó, tứ giác BONE là tứ giác nội tiếp. Từ đó, ta có góc BME = góc BNE (cùng nằm trên cung BE của đường tròn (O)).

Tương tự, ta có góc BMO = góc BEO (cùng nằm trên cung BO của đường tròn (O)).

Vậy ta có tứ giác BOME là tứ giác nội tiếp. Do đó, O, B, M, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta cần chứng minh KA là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).

Gọi K' là giao điểm của KA và nửa đường tròn (O). Ta cần chứng minh K' = N.

Gọi I là giao điểm của KA và nửa đường tròn (O). Ta cần chứng minh I = N.

Ta có góc BAN = 90 độ (do AN ⊥ AB) và góc BON = 90 độ (do OB là đường kính của đường tròn (O)).

Vậy góc BAN = góc BON = 90 độ.

Do đó, tứ giác BANO là tứ giác nội tiếp. Từ đó, ta có góc BNI = góc BAI (cùng nằm trên cung BA của đường tròn (O)).

Tương tự, ta có góc BNO = góc BAO (cùng nằm trên cung BO của đường tròn (O)).

Vậy ta có tứ giác BANO là tứ giác nội tiếp. Do đó, I = N.

Vậy KA là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).

c) Ta cần chứng minh BD/DF + DF/HF = 1.

Gọi G là giao điểm của AB và DF. Ta cần chứng minh BD/DF + DF/HF = 1.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác BDF và đường thẳng AB, ta có:

BD/DF * FG/GA * AH/HB = 1

Vì FG/GA = 1 (do F là trung điểm của GA) và AH/HB = 1 (do A là trung điểm của HB), nên ta có:

BD/DF * 1 * 1 = 1

Từ đó, ta có BD/DF = 1.

Vậy BD/DF + DF/HF = 1.

Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c) của bài toán.