Cho tam giác ABC.trên AB lấy M, trên AC lấy N sao cho  AM/AB = AN/AC = 1/3 . Gọi O là giao điểm của BN và CM. gọi H và L lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A,C đến BN. 

a) Ta có AM/AB = AN/AC = 1/3
=> AM = AB/3 và AN = AC/3
Vì AM/AB = 1/3, nên AM = AB/3 = AH (vì AH là chiều cao của tam giác ABC)
Vì AN/AC = 1/3, nên AN = AC/3 = AL (vì AL là chiều cao của tam giác ABC)
=> AH = AM = AL
=> CL = 2AH

b) Ta có CL = 2AH
Vì CL = 2AH, nên S.ACL = 2S.AHL
Vì AH = AM, nên S.AHL = S.AHM
=> S.ACL = 2S.AHM
=> S.ACL + S.BCL = 2(S.AHM + S.BHM)
=> S.ABC = 2S.ABM
=> S.BOC = 2S.BOA

c) Ta có AM/AB = AN/AC = 1/3
=> AM = AB/3 và AN = AC/3
Vì AM/AB = 1/3, nên AM = AB/3 = AH (vì AH là chiều cao của tam giác ABC)
Vì AN/AC = 1/3, nên AN = AC/3 = AL (vì AL là chiều cao của tam giác ABC)
=> AH = AM = AL
=> CL = 2AH
Vì CL = 2AH, nên S.ACL = 2S.AHL
Vì AH = AM, nên S.AHL = S.AHM
=> S.ACL = 2S.AHM
=> S.ACL + S.BCL = 2(S.AHM + S.BHM)
=> S.ABC = 2S.ABM
=> S.BOC = 2S.BOA
Vì S.BOC = 2S.BOA, nên S.BOC = 2S.BOA = 2S.AOB
Vì S.BOC = 2S.AOB, nên S.BOC + S.AOC = 3S.AOB
Vì S.BOC + S.AOC = 3S.AOB, nên S.ABC = 3S.AOB
Vì S.ABC = 3S.AOB, nên S.ABC = 3S.AOB = 3S.AOC
=> S.AOC = S.AOB
=> AO vuông góc với BC
=> BD = CE

d) S.ABC = 30cm²
Vì AM/AB = 1/3, nên AM = AB/3
Vì AN/AC = 1/3, nên AN = AC/3
=> S.AMN = S.ABC - S.AMB - S.ANC
= 30 - (1/2)AB*AM - (1/2)AC*AN
= 30 - (1/2)AB*(AB/3) - (1/2)AC*(AC/3)
= 30 - (1/6)AB² - (1/6)AC²
= 30 - (1/6)(AB² + AC²)
= 30 - (1/6)BC² (vì AB² + AC² = BC² theo định lý Pytago)
= 30 - (1/6)(BC*BC)
= 30 - (1/6)S.ABC
= 30 - (1/6)*30
= 30 - 5
= 25 cm²

Vậy S.AMON = 25 cm²