a) Ta có:
∠SAB = ∠SBA (do SA và SB là tiếp tuyến của (O))
∠SOA = ∠SAB + ∠SBA (góc nội tiếp cùng cung)
∠SOA = 2∠SAB (do ∠SAB = ∠SBA)
Tương tự, ta có ∠SOB = 2∠SBA
Do đó, tứ giác SAOB là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
∠SAB = ∠SBA (do SA và SB là tiếp tuyến của (O))
∠SAB + ∠SBA = ∠SOA (góc nội tiếp cùng cung)
∠SAB + ∠SBA = 2∠SAB (do ∠SOA = 2∠SAB)
∠SBA = ∠SAB
Do đó, tam giác SAB là tam giác cân.
Áp dụng định lý hình học Pythagoras trong tam giác SAB, ta có:
SA^2 = SM^2 + AM^2
SB^2 = SN^2 + BN^2
Vì tam giác SAB là tam giác cân, nên AM = BN.
Do đó, ta có:
SA^2 = SM^2 + AM^2 = SM^2 + BN^2 = SM^2 + SN^2
Và từ đó, ta có SA^2 = SM.SN.

c) Ta có:
∠SAB = ∠SBA (do SA và SB là tiếp tuyến của (O))
∠SOA = ∠SAB + ∠SBA (góc nội tiếp cùng cung)
∠SOA = 2∠SAB (do ∠SAB = ∠SBA)
Tương tự, ta có ∠SOB = 2∠SBA
Do đó, tứ giác SAOB là tứ giác nội tiếp.
Gọi K' là giao điểm của SO và AB khi S nằm ở vị trí khác.
Ta có:
∠SK'A = ∠SAB + ∠SOA (góc nội tiếp cùng cung)
∠SK'A = 2∠SAB + 2∠SAB = 4∠SAB
Tương tự, ta có ∠SK'B = 4∠SBA
Do đó, tứ giác SK'AB là tứ giác nội tiếp.
Từ a), ta biết rằng tứ giác SAOB là tứ giác nội tiếp.
Vậy, K' trùng với K.
Do đó, tích OK.OS không phụ thuộc vào vị trí của điểm S.

d) Ta có:
MH vuông góc với OA (do MH là đường cao của tam giác OAB)
Do đó, ∠MHA = 90°
Từ đó, ta có ∠MHA = ∠SAB (do SA và SB là tiếp tuyến của (O))
Vậy, tam giác MHA và tam giác SAB có cặp góc bằng nhau.
Do đó, MH // SB (do MH và SB cùng vuông góc với OA)
Từ đó, ta có:
∠SAB = ∠MHA = ∠MHN (do MH // SB)
Vậy, tam giác SAB và tam giác SMN có cặp góc bằng nhau.
Do đó, tứ giác ABNM là tứ giác điều hòa.
Vì E là trung điểm của DM, nên ta có:
DE = EM
Do đó, tứ giác ABNM là tứ giác điều hòa, nên E là trung điểm của DM.