Cho tam giác ABC vuông tại A, I là trung điểm AC,trên tia đối của tia BI lấy điểm D sao cho IB=ID

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đường trung trực.

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên AI là đường trung trực của BC. Vì vậy, CD vuông góc AC.

b) Ta có IB = ID (theo đề bài), và AI là đường trung trực của BC. Vậy, AI cắt BD tại trung điểm của BD. Do đó, AI < ID.

c) Gọi E là giao điểm của BM và DN. Ta cần chứng minh tam giác BMI = tam giác DNI.

Ta có:

- Vì AI là đường trung trực của BC, nên AI vuông góc BM.

- Vì IB = ID và AI < ID, nên tam giác AID là tam giác cân tại I. Vậy, AI là đường trung trực của AD.

- Vì AI là đường trung trực của AD, nên AI vuông góc DN.

Vậy, ta có BMI và DNI đều là các tam giác vuông cân, và chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau (BM = DN, MI = NI). Vậy, tam giác BMI = tam giác DNI.

d) Vì BMI = DNI, nên các đỉnh B, M, I, D, N đều nằm trên một đường thẳng.

Vậy, ta đã chứng minh được tất cả các câu hỏi trong bài toán.