Chứng minh từ 2015 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn luôn chọn được ít nhất 1008 điểm mà 3 điểm bất kỳ là các đỉnh của một tam giác tù

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng nguyên lý cầu tròn.

Giả sử ta có một đường tròn với tâm O và bán kính R. Ta chọn một điểm A trên đường tròn này. Khi đó, ta có thể chọn một điểm B nằm trên cung nhỏ AB sao cho góc AOB là một góc tù. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng nguyên lý cầu tròn và nguyên lý góc nội tiếp.

Áp dụng nguyên lý trên, ta có thể chọn một điểm B nằm trên cung nhỏ AB sao cho góc AOB là một góc tù. Tiếp theo, ta chọn một điểm C nằm trên cung nhỏ BC sao cho góc BOC là một góc tù. Lúc này, ta đã có 3 điểm A, B, C trên đường tròn sao cho góc AOB, góc BOC và góc COA đều là các góc tù.

Tiếp tục quá trình này, ta có thể chọn thêm các điểm D, E, F, ... trên đường tròn sao cho góc BOC, góc COD, góc DOE, ... đều là các góc tù.

Vì mỗi lần chọn thêm một điểm mới, ta có thể chọn được ít nhất 2 điểm nằm trên cung nhỏ của đường tròn sao cho góc tạo bởi 3 điểm đó là một góc tù. Vì vậy, để chọn được 1008 điểm thì ta cần chọn thêm ít nhất 1007 điểm nữa.

Tổng cộng, ta cần chọn ít nhất 1007 + 1 = 1008 điểm để đảm bảo rằng 3 điểm bất kỳ trên đường tròn là các đỉnh của một tam giác tù.