Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số F = x^2 + y^2 - x + 6y + 10, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành hình vuông.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng hàm số F có dạng tổng của các hàm số bậc hai theo x và y. Để tìm giá trị nhỏ nhất của F, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của từng hàm số bậc hai này.

Đối với hàm số F theo x, ta có:
F(x) = x^2 - x + (y^2 + 6y + 10)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này, ta có thể sử dụng công thức hoàn thành hình vuông:
F(x) = (x - 1/2)^2 - 1/4 + (y^2 + 6y + 10)

Ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số F(x) là khi (x - 1/2)^2 đạt giá trị nhỏ nhất, tức là bằng 0. Do đó, ta có x = 1/2.

Tiếp theo, ta thay x = 1/2 vào hàm số F theo y:
F(y) = (1/2)^2 + y^2 - 1/2 + 6y + 10
= 1/4 + y^2 - 1/2 + 6y + 10
= y^2 + 6y + 21/4

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai y^2 + 6y. Ta có thể sử dụng công thức hoàn thành hình vuông:
y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9

Ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số y^2 + 6y là khi (y + 3)^2 đạt giá trị nhỏ nhất, tức là bằng 0. Do đó, ta có y = -3.

Kết hợp với x = 1/2, ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số F là:
F(1/2, -3) = (1/2)^2 + (-3)^2 - 1/2 + 6(-3) + 10
= 1/4 + 9 - 1/2 - 18 + 10
= 9 + 10 - 18 - 1/4 - 1/2
= 18 - 9/4 - 2/4 - 1/4
= 18 - 12/4
= 18 - 3
= 15.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số F là 15.