Qua điểm O trong tam giác ABC vẽ 1 đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Đường thẳng song song với CA cắt BC, BA lần lượt tại F và H

Để chứng minh hai phương trình trên, ta sẽ sử dụng định lí Ceva trong tam giác ABC.

a) Ta có:
- Đường thẳng song song với BC cắt AB tại D và AC tại E, nên theo định lí Thales, ta có:
AD/DB = AE/EC
=> AD/DB + AE/EC = 1
=> (AD + AE)/(DB + EC) = 1
=> (AD + AE)/(AB + AC) = 1 (vì DB + EC = AB + AC)
=> (AD + AE)/AB = 1 - AE/AC
=> (AD + AE)/AB = AC/AC - AE/AC
=> (AD + AE)/AB = (AC - AE)/AC
=> (AD + AE)/AB = CE/AC
=> (AD/AB) + (AE/AB) = CE/AC
=> OD/OE + OF/OH = OI/OK (vì AD/AB = OD/OE, AE/AB = OF/OH, CE/AC = OI/OK)
=> OD/OE . OF/OH . OI/OK = 1

b) Ta có:
- Đường thẳng song song với CA cắt BC tại F và BA tại H, nên theo định lí Thales, ta có:
BF/FC = BH/HA
=> (BF + BH)/FC = HA/HA
=> (BF + BH)/FC = 1
=> (BF + BH)/(BC + CF) = 1 (vì FC = BC + CF)
=> (BF + BH)/BC = 1 - BH/CF
=> (BF + BH)/BC = CF/CF - BH/CF
=> (BF + BH)/BC = (CF - BH)/CF
=> (BF + BH)/BC = CE/CF
=> (BF/BC) + (BH/BC) = CE/CF
=> AH/AB + BK/BC = CE/CF

- Đường thẳng song song với AB cắt CA tại I và CB tại K, ta có tương tự:
AI/IC + CK/KB = AB/BE

- Tổng cộng hai phương trình trên, ta có:
AH/AB + BK/BC + CE/CA = (AH/AB + BK/BC) + CE/CA
= (AI/IC + CK/KB) + CE/CA
= AB/BE + CE/CA
= 1 (vì AB/BE + CE/CA = 1)

Vậy, hai phương trình đã được chứng minh.