Để chứng minh tứ giác ABMN là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của tứ giác này bằng nhau và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm.

Gọi E là giao điểm của AB và CD. Ta có AB // CD, nên tam giác ADE và CDE là hai tam giác đồng dạng (có cạnh AD và CD chung). Do đó, ta có tỉ số đồng dạng:

AD/CD = AE/CE

Vì AD = 2HD và CD = 2HC (do H là trung điểm của AC), nên ta có:

2HD/2HC = AE/CE

HD/HC = AE/CE

Ta biết rằng M là trung điểm của HD và N là trung điểm của HC, nên ta có:

HM/HC = HD/HC và HN/HC = HC/HC

Do đó, ta có:

HM/HC = HD/HC = AE/CE = HN/HC

Vậy ta có HM = HN.

Tiếp theo, ta cần chứng minh AB = MN.

Ta có:

AB = AD + DB = 2HD + DB

MN = HM + HN = HD + HC

Vì DB = HC (do AB // CD và AD // BC), nên ta có:

AB = 2HD + DB = 2HD + HC = HD + HC = MN

Vậy ta có AB = MN.

Cuối cùng, ta cần chứng minh đường chéo BM cắt đường chéo AN tại trung điểm của chúng.

Gọi P là giao điểm của BM và AN. Ta cần chứng minh rằng P là trung điểm của BM và AN.

Ta có:

HP/HC = HD/HC = AE/CE

Vì M là trung điểm của HD, nên ta có:

HP/HC = HM/HC = 1/2

Tương tự, ta có:

HP/HC = HN/HC = 1/2

Vậy ta có HP = HC/2.

Do đó, ta có:

AP = AN - HP = AC - HC/2 = HC/2

Vậy ta có AP = HP.

Từ đó, ta có tứ giác ABMN là hình bình hành, với AB = MN và BM cắt AN tại trung điểm của chúng.

Vậy ta đã chứng minh được tứ giác ABMN là hình bình hành.