Cho tam giác ABC nhọn AB < BC nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ BD vuông góc với AC tại D

Để chứng minh các câu hỏi trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và tam giác đồng dạng.

1) Ta có:
- $\angle BDI = \angle BAI$ (do BD vuông góc với AC và DI vuông góc với AB)
- $\angle BHD = \angle BCD$ (do BD vuông góc với AC và DH vuông góc với BC)
- $\angle BDI + \angle BHD = \angle BAI + \angle BCD = 180^\circ$ (do $\angle BAI + \angle BCD$ là góc nội tiếp của tam giác ABC)
Vậy ta có tứ giác BDIH nội tiếp trong một đường tròn.

2) Ta có:
- $\angle BDI = \angle BAI$ (do BD vuông góc với AC và DI vuông góc với AB)
- $\angle BHD = \angle BCD$ (do BD vuông góc với AC và DH vuông góc với BC)
- $\angle BDI = \angle BHD$ (do tứ giác BDIH nội tiếp trong một đường tròn)
Vậy ta có hai tam giác BDI và BHD đồng dạng.
Từ đó, ta có $\frac{BI}{BD} = \frac{BD}{BH}$ (theo tính chất của tam giác đồng dạng)
Tương đương với $BI.BH = BD^2$.

Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn nên ta có $BI.BA = BD.BC$ (theo định lý hình học về đường tròn nội tiếp tam giác)
Từ đó, ta có $BI.BA = BD.BC = BI.BH$ (do $BI.BH = BD^2$)
Vậy ta có $BI.BA = BH.BC$.

3) Ta có:
- $\angle BDI = \angle BAI$ (do BD vuông góc với AC và DI vuông góc với AB)
- $\angle BHD = \angle BCD$ (do BD vuông góc với AC và DH vuông góc với BC)
- $\angle BDI = \angle BHD$ (do tứ giác BDIH nội tiếp trong một đường tròn)
Vậy ta có hai tam giác BDI và BHD đồng dạng.
Từ đó, ta có $\frac{BI}{BD} = \frac{BD}{BH}$ (theo tính chất của tam giác đồng dạng)
Tương đương với $BI.BH = BD^2$.

Từ câu 2, ta đã có $BI.BA = BH.BC$.
Vậy ta có $BI.BA = BH.BC = BD^2$.
Từ đó, ta suy ra tam giác BDK cân (do $BD = BK$).