a) Ta có:
- Gọi I là giao điểm của MA và CD.
- Vì H là trung điểm CD nên OH song song với AD và OH = 1/2AD.
- Ta có: ∠MIA = ∠MCI (cùng chắn cung MC) và ∠MIB = ∠MDI (cùng chắn cung MD).
- Vì ∠MIA = ∠MIB nên tứ giác MIAB nội tiếp.
- Vì ∠MCI = ∠MDI nên tứ giác MCID nội tiếp.
- Vậy ta có: ∠MIB = ∠MIA = ∠MCI = ∠MDI = ∠MCD = ∠MCH.
- Do đó, tứ giác MCHB nội tiếp.
- Vì OH song song với AD nên ∠OHB = ∠HAD = ∠HCD = ∠HCB.
- Vậy ta có: ∠OHB = ∠HCB = ∠HMB.
- Do đó, tứ giác OHMB nội tiếp.
- Từ đó, ta có: ∠OMB = ∠OHM = ∠HMB = ∠HCB = ∠HCD = ∠HAD = ∠HOM.
- Vậy ta có: ∠OMB = ∠HOM.
- Do đó, tứ giác OMHB nội tiếp.
- Vậy ta có: ∠OMB = ∠OHM = ∠HMB = ∠HCB = ∠HCD = ∠HAD = ∠HOM = ∠OAM.
- Từ đó, ta có: ∠OMB = ∠OAM.
- Vậy ta có: tứ giác OAMB nội tiếp.
- Vậy ta có: ∠OAB = ∠OMB = ∠OAM.
- Do đó, 5 điểm M, A, H, O, B cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có:
- Vì tứ giác MCHB nội tiếp nên theo định lý Ptolemy, ta có: MC.HB + MB.HC = MH.BC.
- Vì H là trung điểm CD nên HC = HD.
- Vì ∠MCH = ∠MCD = ∠MHD nên tứ giác MCHD nội tiếp.
- Vậy ta có: ∠MHB = ∠MCD = ∠MHD.
- Do đó, tứ giác MHB nội tiếp.
- Vậy ta có: ∠MHB = ∠MHD.
- Từ đó, ta có: MC.HB + MB.HC = MH.BC = MH.(HB + HC) = MH.2HC.
- Vậy ta có: MC.HB + MB.HC = 2MC.HC.
- Do đó, ta có: MB.HC = 2MC.HC - MC.HB = HC(2MC - MB).
- Vì HC = HD nên ta có: MB.HC = HD(2MC - MB).
- Vậy ta có: MB^2 = MC.MD.

c) Ta có:
- Vì 5 điểm M, A, H, O, B cùng nằm trên một đường tròn nên ∠OAB = ∠OMB = ∠OAM.
- Vì ∠OMB = ∠OHM = ∠HMB = ∠HCB = ∠HCD = ∠HAD = ∠HOM = ∠OAM nên tứ giác OAMB nội tiếp.
- Vậy ta có: ∠OAB = ∠OMB = ∠OAM.
- Do đó, ta có: AF//CD.

d) Ta có:
- Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) nên ∠OAM = 90°.
- Vì AM = R√3 nên ta có: AO = AM + OM = R√3 + R = R(√3 + 1).
- Vậy ta có: diện tích phần ngoài đường tròn là S1 = πR^2 - π(R(√3 + 1))^2 = πR^2 - π(R^2(3 + 2√3 + 1)) = πR^2 - πR^2(4 + 2√3) = πR^2(1 - (4 + 2√3)) = πR^2(1 - 4 - 2√3) = πR^2(-3 - 2√3).
- Vì AM = R√3 nên ta có: OM = R - AM = R - R√3 = R(1 - √3).
- Vậy ta có: diện tích phần trong 2 tiếp tuyến MA, MB là S2 = π(R(1 - √3))^2 = πR^2(1 - 2√3 + 3) = πR^2(4 - 2√3).
- Vậy diện tích phần ngoài đường tròn và phần trong 2 tiếp tuyến MA, MB là S1 + S2 = πR^2(-3 - 2√3) + πR^2(4 - 2√3) = πR^2(-3 - 2√3 + 4 - 2√3) = πR^2(-2√3 - 2√3 + 1) = πR^2(-4√3 + 1).