Cho tam giác abc vuông tại a và ab

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các định lý về tam giác vuông và tia phân giác góc.

Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Ta có BM = MC.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có định lý Pythagoras: AB^2 + AC^2 = BC^2.

Vì AB < AC, nên AB^2 < AC^2, từ đó suy ra AB^2 + AC^2 < 2AC^2.

Vì BM = MC, nên ta có BM^2 = MC^2 = BC^2/4.

Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác ABM, ta có AB^2 + BM^2 = AM^2.

Thay các giá trị đã biết vào, ta có AB^2 + BC^2/4 = AM^2.

Vì AB^2 + BC^2 < 2AC^2, nên AB^2 + BC^2/4 < AC^2.

Từ đó suy ra AM^2 < AC^2, hay AM < AC.

Vậy ta có AM < AC.

Do đó, ta có thể lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = BA.

Tiếp theo, ta kẻ tia phân giác góc ABC, gọi E là giao điểm của tia phân giác và cạnh BC.

Vì BE là tia phân giác góc ABC, nên m∠EBA = m∠EBC.

Vì BD = BA, nên tam giác ABD là tam giác cân tại A.

Do đó, m∠ABD = m∠ADB = 45°.

Vì m∠EBA = m∠EBC, nên m∠EBD = m∠EBA - m∠ABD = 45° - 45° = 0°.

Từ đó suy ra BD song song với AE.

Vì AD = BD, nên tam giác ABD là tam giác đều.

Vậy ta có tam giác ABD là tam giác đều.

Tiếp theo, ta kẻ đường thẳng đi qua M song song với tia MA, gọi N là giao điểm của đường thẳng đó và cạnh BC.

Vì MD = MA, nên tam giác AMD là tam giác cân tại A.

Do đó, m∠AND = m∠ADM = 45°.

Vì MD = MA, nên tam giác AMD là tam giác đều.

Vậy ta có tam giác AMD là tam giác đều.

Tóm lại, ta đã tìm được các điểm D, E, M, N thỏa mãn yêu cầu đề bài.