a) Điều kiện xác định của biểu thức A là:
- Mẫu của các phân số không được bằng 0.
- Mẫu của phân số đầu tiên không được bằng 0: x - 1 + 2x ≠ 0 ⇒ 3x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/3.
- Mẫu của phân số thứ hai không được bằng 0: x + 1 - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0.
- Mẫu của phân số thứ ba không được bằng 0: x^2 - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1, x ≠ 1.

Rút gọn biểu thức A:
A = [(7 - 2x)/(x - 1 + 2x)] / [(x + 1 - 1)/(x^2 - 1)] : [(3x + 9)/(x^2 - 1)]
= [(7 - 2x)/(3x - 1)] / [(x + 1)/(x^2 - 1)] : [(3(x + 3))/(x^2 - 1)]
= [(7 - 2x)/(3x - 1)] / [(x + 1)/(x^2 - 1)] * [(x^2 - 1)/(3(x + 3))]
= [(7 - 2x)(x^2 - 1)] / [(3x - 1)(x + 1)(x + 3)].

b) Giả sử |x - 2| = 1, ta có hai trường hợp:
- Trường hợp 1: x - 2 = 1 ⇒ x = 3.
- Trường hợp 2: x - 2 = -1 ⇒ x = 1.

Đặt x = 3 vào biểu thức A:
A = [(7 - 2(3))(3^2 - 1)] / [(3(3) - 1)(3 + 1)(3 + 3)]
= (1)(8) / (8)(6)
= 1/6.

Đặt x = 1 vào biểu thức A:
A = [(7 - 2(1))(1^2 - 1)] / [(3(1) - 1)(1 + 1)(1 + 3)]
= (5)(0) / (2)(2)(4)
= 0.

Vậy giá trị của A khi |x - 2| = 1 là 1/6 và 0.

c) Để A nhận giá trị nguyên, ta cần tìm giá trị nguyên của x sao cho tử số của biểu thức A là một số nguyên và mẫu số của biểu thức A khác 0.

Đặt tử số của biểu thức A là một số nguyên k:
k = (7 - 2x)(x^2 - 1).

Đặt mẫu số của biểu thức A khác 0:
(3x - 1)(x + 1)(x + 3) ≠ 0.

Tiếp theo, ta giải phương trình k = (7 - 2x)(x^2 - 1) để tìm giá trị nguyên của x.