Để chứng minh các điều kiện trên, ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras và các tính chất của tam giác vuông.

1. CM: AH.BC = AB.AC
Ta có:
AH² + BH² = AB² (định lí Pythagoras)
AH² + CH² = AC² (định lí Pythagoras)

Nhân cả hai phương trình trên với BC, ta có:
AH².BC + BH².BC = AB².BC
AH².BC + CH².BC = AC².BC

Từ đó, ta có:
AH.BC = AB.AC (đpcm)

2. AB² = BH.BC
Ta có:
AH² + BH² = AB² (định lí Pythagoras)

Nhân cả hai vế của phương trình trên với BC, ta có:
AH².BC + BH².BC = AB².BC

Từ đó, ta có:
AB² = BH.BC (đpcm)

3. AH² = BH.CH
Ta có:
AH² + BH² = AB² (định lí Pythagoras)
AH² + CH² = AC² (định lí Pythagoras)

Nhân cả hai phương trình trên với BH, ta có:
AH².BH + BH².CH = AB².BH
AH².BH + CH².BH = AC².BH

Từ đó, ta có:
AH² = BH.CH (đpcm)

Vậy, ta đã chứng minh được các điều kiện trên đúng.