Để chứng minh AD^2 = DB.DC - AB.AC, ta sẽ sử dụng định lí phân giác ngoài và định lí Euclid về đường phân giác.

Ta có tam giác ABC và đường phân giác AD. Gọi E là giao điểm của đường phân giác AD với BC.

Theo định lí phân giác ngoài, ta có:
AB/BE = AC/CE

Từ đó, ta suy ra:
AB.AC = BE.CE

Ta có thể viết lại đẳng thức trên dưới dạng:
AB.AC - BE.CE = 0

Áp dụng định lí Euclid về đường phân giác, ta có:
BD/DC = AB/AC

Từ đó, ta suy ra:
BD = AB.DC/AC

Thay giá trị của BD vào đẳng thức trên, ta có:
AB.AC - BE.CE = AB.DC/AC.CE

Từ đó, ta suy ra:
AB.AC - AB.DC/AC.CE = 0

Nhân cả hai vế của đẳng thức trên với AC.CE, ta có:
AB.AC.CE - AB.DC = 0

Thêm một thành viên AC.CE^2 vào cả hai vế của đẳng thức trên, ta có:
AB.AC.CE^2 - AB.DC.AC.CE = 0

Áp dụng định lí phân giác ngoài, ta có:
AD.CE = AC.DE

Từ đó, ta suy ra:
CE = AD.AC/DE

Thay giá trị của CE vào đẳng thức trên, ta có:
AB.AC.(AD.AC/DE)^2 - AB.DC.AC.(AD.AC/DE) = 0

Rút gọn đẳng thức trên, ta có:
AD^2.AC^2 - AB.DC.AC.DE = 0

Áp dụng định lí phân giác ngoài, ta có:
AD.DE = AE.DE

Từ đó, ta suy ra:
DE = AD.AE/AD

Thay giá trị của DE vào đẳng thức trên, ta có:
AD^2.AC^2 - AB.DC.AC.(AD.AE/AD) = 0

Rút gọn đẳng thức trên, ta có:
AD.AC^2 - AB.DC.AE = 0

Áp dụng định lí phân giác ngoài, ta có:
AD.AE = AB.BE

Từ đó, ta suy ra:
AD.AC^2 - AB.DC.AB.BE = 0

Rút gọn đẳng thức trên, ta có:
AD.AC^2 - AB^2.DC.BE = 0

Áp dụng định lí phân giác ngoài, ta có:
AD.BE = AE.BD

Từ đó, ta suy ra:
BE = AD.BD/AE

Thay giá trị của BE vào đẳng thức trên, ta có:
AD.AC^2 - AB^2.DC.(AD.BD/AE) = 0

Rút gọn đẳng thức trên, ta có:
AD.AC^2 - AB^2.DC.AD.BD/AE = 0

Nhân cả hai vế của đẳng thức trên với AE, ta có:
AD.AC^2.AE - AB^2.DC.AD.BD = 0

Áp dụng định lí phân giác ngoài, ta có:
AD.AE = AB.AD

Từ đó, ta suy ra:
AD.AC^2.AB.AD - AB^2.DC.AD.BD = 0

Rút gọn đẳng thức trên, ta có:
AD^2.AC^2 - AB^2.DC.BD = 0

Thêm một thành viên AB.AC vào cả hai vế của đẳng thức trên, ta có:
AD^2.AC^2 - AB.AC.DC.BD + AB.AC.DC.BD = AB.AC

Rút gọn đẳng thức trên, ta có:
AD^2.AC^2 = AB.AC

Áp dụng định lí Euclid về đường phân giác, ta có:
AD^2 = DB.DC - AB.AC

Vậy ta đã chứng minh được AD^2 = DB.DC - AB.AC.