Cho tam giác DEF có 3 đường trung tuyến DM, EN, FP đồng quy tại G. Trên tia đối của tia GD lấy điểm Q sao cho GD = GQ. Chứng minh :

Để chứng minh a) và b), ta cần sử dụng một số tính chất của đường trung tuyến trong tam giác.

Tính chất 1: Đường trung tuyến của tam giác là đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh của tam giác.

Tính chất 2: Đường trung tuyến của tam giác chia đôi đoạn nối hai đỉnh của tam giác.

Tính chất 3: Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

Tính chất 4: Đường trung tuyến của tam giác song song với cạnh tương ứng và bằng một nửa độ dài cạnh đó.

Tính chất 5: Đường trung tuyến của tam giác song song với đường thẳng nối hai đỉnh của tam giác và bằng một nửa độ dài đường thẳng đó.

Bây giờ, ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán:

a) Ta cần chứng minh rằng EG, GQ, QE là đường trung tuyến của tam giác EGQ.

Theo tính chất 1, ta có EG là đường trung tuyến của tam giác DEF, nên EG song song với DF và có độ dài bằng một nửa độ dài DF.

Theo tính chất 4, ta có EG song song với QD và có độ dài bằng một nửa độ dài QD.

Vậy EG là đường trung tuyến của tam giác EGQ.

Tương tự, ta có GQ là đường trung tuyến của tam giác DEF và QE là đường trung tuyến của tam giác DEF.

Do đó, EG, GQ, QE là đường trung tuyến của tam giác EGQ.

b) Ta cần chứng minh rằng GK, EM, QH bằng nửa các cạnh DE, EF, FD của tam giác DEF.

Theo tính chất 2, ta có GK là đường trung tuyến của tam giác DEF, nên GK chia đôi đoạn DE.

Theo tính chất 3, ta có diện tích tam giác DEF bằng diện tích tam giác DGM.

Vì DM là đường trung tuyến của tam giác DEF, nên diện tích tam giác DGM bằng diện tích tam giác DEF.

Tương tự, ta có diện tích tam giác EFN bằng diện tích tam giác DEF và diện tích tam giác FHP bằng diện tích tam giác DEF.

Do đó, diện tích tam giác DGM bằng diện tích tam giác EFN bằng diện tích tam giác FHP.

Vậy GK = GM = 1/2 DE, EM = EN = 1/2 EF, QH = HP = 1/2 FD.

Vậy GK, EM, QH bằng nửa các cạnh DE, EF, FD của tam giác DEF.

Với các chứng minh trên, ta đã chứng minh được a) và b) của bài toán.