Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học đường tròn và hình học tỉ lệ.

a) Để chứng minh Tứ giác ABOC nội tiếp, ta cần chứng minh góc AOC = góc ABC. Ta có:
Góc AOC = 180° - góc OAC - góc OCA (1)
Góc ABC = góc BAC + góc BCA (2)

Vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc OAC = góc BAC và góc OCA = góc BCA. Thay vào (1) và (2), ta có:
Góc AOC = 180° - góc OAC - góc OCA = 180° - góc BAC - góc BCA = góc ABC

Vậy, ta có Tứ giác ABOC nội tiếp.

b) Ta có:
Góc ABE = góc ADE (do AB || AC và AD là tiếp tuyến của đường tròn (O))
Góc ABE = góc ADE = góc AED (do AB = AD)
Góc ABE + góc AED = 180° (do tứ giác AEBD nội tiếp)
Góc ABE + góc ABE = 180°
2góc ABE = 180°
góc ABE = 90°

Vậy, tam giác ABE là tam giác vuông tại B.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABE, ta có:
AE^2 = AB^2 + BE^2
AE^2 = AB^2 + (2R)^2 (do BE = 2R)
AE^2 = AB^2 + 4R^2

Vậy, ta không thể kết luận rằng AE.AD = AB^2.

c) Để chứng minh góc CEA = góc BEC, ta cần chứng minh tam giác CEA đồng dạng với tam giác BEC.

Ta có:
Góc CEA = góc CDA (do AE || BD và AD là tiếp tuyến của đường tròn (O))
Góc CDA = góc BDA (do tam giác BDA đồng dạng với tam giác CDA)
Góc BDA = góc BEA (do tam giác BDA đồng dạng với tam giác BEA)
Góc BEA = góc BEC + góc CEA

Thay vào, ta có:
góc CEA = góc BEA - góc BEC = góc BEC + góc CEA - góc BEC = góc CEA

Vậy, ta có góc CEA = góc BEC.

d) Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD theo R, ta cần tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD.

Gọi F là giao điểm của đường thẳng AC và BD. Ta cần tính khoảng cách AF.

Ta có:
Góc BAC = góc BCF (do AB || AC và BD || AC)
Góc BCF = góc BDF (do tam giác BCF đồng dạng với tam giác BDF)
Góc BDF = góc BAF (do tam giác BDF đồng dạng với tam giác BAF)

Vậy, ta có góc BAC = góc BAF.

Do đó, tam giác BAF là tam giác cân tại A. Vì vậy, ta có AF = AB.

Với OA = 3R và AF = AB, ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD là:
AC - BD = 2AF - 2R = 2(AB) - 2R = 2(AB - R)

Vậy, khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD theo R là 2(AB - R).